Нужно доказать, что прямая ab является перпендикулярной плоскости

Для доказательства того, что прямая ab является перпендикулярной плоскости, мы можем использовать свойство перпендикулярности, которое гласит, что перпендикулярные линии или прямые образуют прямой угол.

Давайте представим, что данная прямая ab лежит в плоскости XYZ, и нам нужно доказать, что она перпендикулярна этой плоскости.

1. Сначала давайте представим две точки A и B на прямой ab. Заметим, что эти точки лежат в данной плоскости XYZ, так как плоскость простирается в бесконечность.

2. Теперь возьмем любую другую точку C в плоскости XYZ, которая не лежит на прямой ab.

3. Далее мы рассмотрим вектор AB, который соединяет точки A и B. Также рассмотрим вектор AC, который соединяет точки A и C.

4. Если прямая ab перпендикулярна плоскости XYZ, то вектор AB должен быть перпендикулярен ко всем векторам, лежащим в этой плоскости. Значит, вектор AB должен быть перпендикулярен и вектору AC.

5. Мы можем установить, что два вектора перпендикулярны друг другу, используя свойство скалярного произведения. Формула для скалярного произведения векторов выглядит следующим образом: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами AB и AC.

6. Если векторы AB и AC перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно 0. То есть \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\).

7. Теперь давайте рассмотрим векторы AB и AC подробнее. Вектор AB задается координатами \(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B. Вектор AC задается координатами \(x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1\), где (x3, y3, z3) - координаты точки C.

8. Подставим значения в формулу для скалярного произведения и получим:

\((x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) + (z_2 - z_1)(z_3 - z_1) = 0\)

9. Если данное равенство выполняется для всех значений x, y и z, то это означает, что векторы AB и AC перпендикулярны друг другу, и, следовательно, прямая ab перпендикулярна плоскости XYZ.

Таким образом, мы доказали, что прямая ab является перпендикулярной плоскости XYZ.