Нужно доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, если A(-5,1), B(-1,-1), C(-2,-3), и D(-6,-1

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно проверить, что его противоположные стороны параллельны и перпендикулярны между собой.

1. Параллельность сторон: Убедимся, что сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне AD.

Сначала найдем угловые коэффициенты прямых, проходящих через соответствующие стороны.

Угловой коэффициент прямой AB:
\[k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{(-1) - 1}{(-1) - (-5)} = \frac{-2}{4} = -0.5\]

Угловой коэффициент прямой CD:
\[k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{(-1) - (-3)}{(-6) - (-2)} = \frac{2}{-4} = -0.5\]

Угловой коэффициент прямой BC:
\[k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{(-3) - (-1)}{(-2) - (-1)} = \frac{-2}{-1} = 2\]

Угловой коэффициент прямой AD:
\[k_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{(-1) - 1}{(-6) - (-5)} = \frac{-2}{-1} = 2\]

Мы видим, что \(k_{AB} = k_{CD} = -0.5\) и \(k_{BC} = k_{AD} = 2\). Угловые коэффициенты прямых, проходящих через соответствующие стороны, равны, что означает, что эти стороны параллельны друг другу.

2. Перпендикулярность сторон: Убедимся, что сторона AB перпендикулярна стороне BC и сторона CD перпендикулярна стороне AD.

Для этого проверим, что произведение угловых коэффициентов прямых, проходящих через соответствующие стороны, равно -1.

\[k_{AB} \cdot k_{BC} = (-0.5) \cdot 2 = -1\]
\[k_{CD} \cdot k_{AD} = (-0.5) \cdot 2 = -1\]

Произведения угловых коэффициентов равны -1, что означает, что эти стороны перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что стороны ABCD параллельны и перпендикулярны между собой, что является определением прямоугольника.

Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.