Необходимо показать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM являются перпендикулярными, при условии, что M является

Рассмотрим прямоугольник ABCD:

$$\text{Unknown environment '{array}'}$$

Пусть $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ -- векторы сторон прямоугольника ABCD. Мы знаем, что $\overrightarrow{AB}=1$ и $\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}$.

Чтобы показать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными, нам нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов можно найти с помощью формулы:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y$$

где $\overrightarrow{u}=⟨u_x,u_y⟩$ и $\overrightarrow{v}=⟨v_x,v_y⟩$ -- компоненты векторов $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ соответственно.

Распишем $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DM}$:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ (сумма двух векторов)

$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{MC}$ (разность двух векторов)

Заметим, что $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CB}$, поскольку вектор $\overrightarrow{DC}$ можно получить, поменяв направление вектора $\overrightarrow{CB}$ на противоположное. Мы знаем, что $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}$:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot (\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{MC})$

Раскрытием скобок получим:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MC}$

Так как $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ являются перпендикулярными сторонами прямоугольника, их скалярное произведение равно нулю. Значит, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=0$ и $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DC}=0$.

Также заметим, что вектор $\overrightarrow{MC}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{BC}$, потому что точка M является серединой стороны BC. То есть $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{BC}$.

Теперь подставим эти значения в выражение для $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}$:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MC}+0-\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MC}$

Так как $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\cdot (-\overrightarrow{BC})$ и $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BC}\cdot (-\overrightarrow{BC})$, то получаем:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+0+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}$

Вспомним, что длина вектора BC равна $\sqrt{2}$, поэтому $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}=||\overrightarrow{BC}|{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$.

Теперь подставим это значение и упростим выражение:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+0+2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+2$

Осталось убедиться, что $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+2=0$, чтобы доказать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными.

Теперь найдём скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=||\overrightarrow{AB}||\cdot ||\overrightarrow{BC}||\cdot \cos (\theta )$

где $||\overrightarrow{AB}||=1$ -- длина вектора $\overrightarrow{AB}$, $||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{2}$ -- длина вектора $\overrightarrow{BC}$, и $\theta$ -- угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Из определения прямоугольника следует, что угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен 90 градусам, поскольку прямоугольник имеет прямые углы.

Таким образом, $\cos (\theta )=0$ и $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=||\overrightarrow{AB}||\cdot ||\overrightarrow{BC}||\cdot \cos (\theta )=1\cdot \sqrt{2}\cdot 0=0$.

Возвращаясь к выражению $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+2$, получаем:

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0+2=2\ne 0$

Таким образом, мы видим, что $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}\ne 0$, что означает, что отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.