Необходимо показать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM являются перпендикулярными, при условии, что M является

Рассмотрим прямоугольник ABCD:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
A & - & - & - & B \\
\downarrow & & & & \uparrow \\
- & - & - & - & - \\
C & - & - & - & D \\
\end{{array}}
\]

Пусть \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) -- векторы сторон прямоугольника ABCD. Мы знаем, что \(\overrightarrow{AB} = 1\) и \(\overrightarrow{BC} = \sqrt{2}\).

Чтобы показать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными, нам нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов можно найти с помощью формулы:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y
\]

где \(\vec{u} = \langle u_x, u_y \rangle\) и \(\vec{v} = \langle v_x, v_y \rangle\) -- компоненты векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) соответственно.

Распишем \(\vec{AC}\) и \(\vec{DM}\):

\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\) (сумма двух векторов)

\(\vec{DM} = \vec{DC} - \vec{MC}\) (разность двух векторов)

Заметим, что \(\vec{DC} = -\vec{CB}\), поскольку вектор \(\vec{DC}\) можно получить, поменяв направление вектора \(\vec{CB}\) на противоположное. Мы знаем, что \(\vec{CB} = \vec{BC}\).

Теперь вычислим скалярное произведение \(\vec{AC} \cdot \vec{DM}\):

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{DC} - \vec{MC})\)

Раскрытием скобок получим:

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = \vec{AB} \cdot \vec{DC} - \vec{AB} \cdot \vec{MC} + \vec{BC} \cdot \vec{DC} - \vec{BC} \cdot \vec{MC}\)

Так как \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) являются перпендикулярными сторонами прямоугольника, их скалярное произведение равно нулю. Значит, \(\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0\) и \(\vec{BC} \cdot \vec{DC} = 0\).

Также заметим, что вектор \(\vec{MC}\) является противоположным вектору \(\vec{BC}\), потому что точка M является серединой стороны BC. То есть \(\vec{MC} = -\vec{BC}\).

Теперь подставим эти значения в выражение для \(\vec{AC} \cdot \vec{DM}\):

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = 0 - \vec{AB} \cdot \vec{MC} + 0 - \vec{BC} \cdot \vec{MC}\)

Так как \(\vec{AB} \cdot \vec{MC} = \vec{AB} \cdot (-\vec{BC})\) и \(\vec{BC} \cdot \vec{MC} = \vec{BC} \cdot (-\vec{BC})\), то получаем:

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = 0 + \vec{AB} \cdot \vec{BC} + 0 + \vec{BC} \cdot \vec{BC}\)

Вспомним, что длина вектора BC равна \(\sqrt{2}\), поэтому \(\vec{BC} \cdot \vec{BC} = ||\vec{BC}||^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\).

Теперь подставим это значение и упростим выражение:

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = 0 + \vec{AB} \cdot \vec{BC} + 0 + 2 = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + 2\)

Осталось убедиться, что \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} + 2 = 0\), чтобы доказать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными.

Теперь найдём скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\):

\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{BC}|| \cdot \cos(\theta)\)

где \(||\vec{AB}|| = 1\) -- длина вектора \(\vec{AB}\), \(||\vec{BC}|| = \sqrt{2}\) -- длина вектора \(\vec{BC}\), и \(\theta\) -- угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\).

Из определения прямоугольника следует, что угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равен 90 градусам, поскольку прямоугольник имеет прямые углы.

Таким образом, \(\cos(\theta) = 0\) и \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = ||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{BC}|| \cdot \cos(\theta) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot 0 = 0\).

Возвращаясь к выражению \(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + 2\), получаем:

\(\vec{AC} \cdot \vec{DM} = 0 + 2 = 2 \neq 0\)

Таким образом, мы видим, что \(\vec{AC} \cdot \vec{DM} \neq 0\), что означает, что отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.