Необходимо подтвердить, что точки, которые располагаются по обеим сторонам квадрата и делят каждую сторону в отношении

Для того чтобы подтвердить, что данные точки являются вершинами правильного многоугольника, нам необходимо анализировать свойства и соотношения, которые имеют место быть в данной задаче.

У нас есть квадрат с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Пусть точка, делящая сторону \(AB\) в отношении 1: \(\sqrt{2}\): 1, будет обозначаться как \(E\), точка, делящая сторону \(BC\) в таком же отношении, будет обозначаться как \(F\), и точка, делящая сторону \(CD\) в таком же отношении, будет обозначаться как \(G\). Пусть также \(\alpha\) будет углом между сторонами квадрата \(AB\) и \(BC\).

Для начала, заметим, что отношение сторон \(AE : EB\) равно 1 : \(\sqrt{2}\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABE\). У нас есть две стороны с известными длинами: \(AE\) и \(BE\). По теореме Пифагора мы можем найти длину третьей стороны, которая будет длиной стороны квадрата \(AB\).

Используя теорему Пифагора, получаем:
\[AB^2 = AE^2 + BE^2\]

Подставляя значения \(AE = 1\) и \(BE = \sqrt{2}\), получаем:
\[AB^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3\]

Таким образом, получаем, что длина стороны квадрата \(AB\) равна \(\sqrt{3}\). Подобным образом, мы можем показать, что длины сторон квадрата \(BC\) и \(CD\) также равны \(\sqrt{3}\).

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BCD\). У нас есть две стороны с равными длинами (\(AB = BC = \sqrt{3}\)) и угол между ними (\(\alpha\)). Если эти два треугольника равны по стороне-стороне-стороне, то углы этих треугольников должны быть равными. То есть, \(\angle ABC = \angle BCD = \alpha\).

Таким образом, у нас есть равносторонний треугольник \(ABC\) с углом \(\alpha\) и равносторонний треугольник \(BCD\) с углом \(\alpha\). Следовательно, эти два треугольника равны между собой.

Получаем, что треугольник \(ABC\) равен треугольнику \(BCD\) по стороне-стороне-стороне. Это означает, что все углы этих треугольников равны и равны \(\alpha\). Также, они равносторонние треугольники, так как все стороны равны.

Теперь давайте построим все остальные стороны правильного многоугольника, используя угол \(\alpha\). Проведем отрезок \(CF\) и прямую, проходящую через точку \(F\) и параллельную стороне \(AB\). Эта прямая пересечет продолжение стороны \(AD\) в точке \(H\). Заметим, что отношение сторон \(CH : HD\) также будет равно 1 : \(\sqrt{2}\), поскольку оно соответствует отношению сторон квадрата \(BC\). Таким образом, точка \(H\) также будет являться вершиной нашего правильного многоугольника.

Повторим эту операцию для сторон \(AD\) и \(DA\). В результате получим точки \(I\) и \(J\), также являющиеся вершинами нашего правильного многоугольника.

Теперь у нас есть вершины \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), \(I\) и \(J\). Они образуют правильный многоугольник, так как углы в каждой из его вершин равны \(\alpha\), а все его стороны равны.

Таким образом, точки, которые располагаются по обеим сторонам квадрата и делят каждую его сторону в отношении \(1 : \sqrt{2} : 1\), являются вершинами правильного многоугольника.