Необходимо доказать, что точка M имеет одинаковое расстояние от сторон многоугольника, при условии её невыделяющегося

Для доказательства того, что точка M имеет одинаковое расстояние от сторон многоугольника, нам понадобятся некоторые определения и свойства.

1. Определение: Расстояние от точки до линии - это длина перпендикуляра, проведенного от данной точки до линии.

2. Определение: Положение точки называется выделяющимся, если она находится на стороне многоугольника или совпадает с одной из его вершин.

3. Определение: Вписанная окружность многоугольника - это окружность, касающаяся всех его сторон.

Теперь рассмотрим доказательство:

Пусть у нас есть многоугольник и точка M, которая не является выделяющейся. Допустим, что M имеет разное расстояние до двух сторон многоугольника, обозначим эти расстояния как d1 и d2.

Возьмем две стороны многоугольника, соответствующие этим расстояниям и обозначим их как AB и CD соответственно.

По определению, расстояние от точки M до прямой AB равно d1. Значит, существует перпендикуляр PM, опущенный из точки M на сторону AB.

Аналогично, расстояние от точки M до прямой CD равно d2, и существует перпендикуляр QM, опущенный из точки M на сторону CD.

Теперь рассмотрим линию третьей стороны многоугольника и обозначим ее как EF.

Поскольку точка M не выделяющаяся, она не находится на стороне многоугольника и не совпадает ни с одной из его вершин. Значит, перпендикуляр, опущенный из точки M на сторону EF, пересечет сторону EF в точке R (см. рисунок).

\[
\begin{align*}
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \