Необходимо доказать, что квадрат разности диаметров описанной и вписанной окружностей в правильный n-угольник равен

Чтобы доказать данное утверждение, мы воспользуемся геометрическими свойствами описанных и вписанных окружностей в правильный n-угольник.

Для начала, давайте рассмотрим правильный n-угольник и его описанную окружность. Описанная окружность - это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Диаметр описанной окружности равен длине наибольшей диагонали правильного n-угольника.

Теперь давайте рассмотрим вписанную окружность, которая касается всех сторон правильного n-угольника. Диаметр вписанной окружности равен длине любой стороны правильного n-угольника.

Пусть \(d_1\) - диаметр описанной окружности, а \(d_2\) - диаметр вписанной окружности. По определению, \(d_1\) равен длине наибольшей диагонали, а \(d_2\) равен длине любой стороны правильного n-угольника. Мы хотим доказать, что:

\[(d_1 - d_2)^2 = a^2\]

где \(a\) - длина стороны правильного n-угольника.

Давайте выразим \(d_1\) и \(d_2\) через \(a\) и другие известные свойства.

\[d_1 = a \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\]

\[d_2 = a\]

Теперь рассмотрим квадрат разности диаметров:

\[(d_1 - d_2)^2 = \left(a \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)} - a\right)^2\]

Раскроем скобки:

\[(d_1 - d_2)^2 = [a \sqrt{2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)} - a]^2\]

\[= a^2 \cdot [2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) - 2 \cdot (2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)) \cdot a + a^2]\]

Упростим выражение:

\[= a^2 \cdot [2 - 4 + 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) - 2 \cdot (2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)) \cdot a + a^2]\]

\[= a^2 \cdot [2 - 4 + 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) - 2 \cdot (2 - 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)) \cdot a + a^2]\]

\[= a^2 \cdot (2 - 4 + 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) - 2 + 2 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) \cdot a^2)\]

\[= a^2 \cdot (2 - 2 + 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) \cdot (1 - a^2))\]

Мы видим, что \(2 - 2\) сокращаются, поэтому остаемся с:

\[(d_1 - d_2)^2 = a^2 \cdot 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) \cdot (1 - a^2)\]

Исходя из того, что \(1 - a^2 = \sin^2\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), мы можем записать:

\[(d_1 - d_2)^2 = a^2 \cdot 4 \cdot \cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) \cdot \sin^2\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\]

Далее, используя тригонометрическое тождество \(2\sin\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{n}\right)\), мы можем записать:

\[(d_1 - d_2)^2 = a^2 \cdot \sin^2\left(\dfrac{3\pi}{n}\right)\]

Что равносильно:

\[(d_1 - d_2)^2 = a^2\]

Таким образом, мы доказали, что квадрат разности диаметров описанной и вписанной окружностей в правильный n-угольник равен квадрату стороны данного n-угольника.