Необходимо доказать, что четвертые стороны у двух выпуклых четырехугольников также равны, если у них соответственно

Рассмотрим два выпуклых четырехугольника \(ABCD\) и \(PQRS\) с равными тремя сторонами и двумя углами между этими сторонами. Для того чтобы доказать, что их четвертые стороны также равны, мы можем использовать метод подобия треугольников и законы синусов.

Пусть у нас есть следующая информация:

Стандартный четырехугольник \(ABCD\) с равными тремя сторонами и двумя углами между этими сторонами:

\[
\begin{align*}
AB = PQ \\
BC = QR \\
CD = RS \\
\angle ABC = \angle PQR \\
\angle BCD = \angle QRS \\
\end{align*}
\]

Мы хотим доказать, что \(AD = PS\).

Итак, давайте построим отрезок \(AC\) и проведем его параллельно к отрезку \(BD\). Обозначим точку пересечения этой параллельной линии с отрезком \(BC\) как точку \(E\).

\[
\begin{align*}
\hskip-36pt AD = AB + BC + CD \\
hskip-36pt AD = PQ + QR + RS \quad \text{(из условия)} \\
\end{align*}
\]

Так как у нас выполняется условие \(\angle ABC = \angle PQR\), то треугольники \(ABC\) и \(PQR\) подобны, и мы можем записать:

\[
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} \quad (1)
\]

Также, у нас имеется пара параллельных сторон \(AC\) и \(BD\). Из этого следует, что треугольники \(ABE\) и \(PQE\) также подобны, и мы можем записать:

\[
\frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{EQ} \quad (2)
\]

Теперь, если мы объединим эти два равенства, мы получим:

\[
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{BE}{EQ} \quad (3)
\]

Теперь давайте рассмотрим другую пару подобных треугольников \(BCE\) и \(QRE\). У нас также есть пара параллельных сторон \(AC\) и \(BD\). Поэтому мы можем записать:

\[
\frac{BE}{EQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CE}{ER} \quad (4)
\]

Таким образом, комбинируя равенства (3) и (4), мы получаем:

\[
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{BE}{EQ} = \frac{CE}{ER} \quad (5)
\]

Теперь давайте рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(QSR\). Из условия \(CD = RS\), мы можем записать:

\[
\frac{CD}{RS} = \frac{AC}{QS} = \frac{CE+ED}{QR} \quad (6)
\]

Также у нас есть пара параллельных сторон \(AC\) и \(BD\), поэтому мы можем записать:

\[
\frac{AC}{QS} = \frac{CE+ED}{QR} = \frac{CE}{QR} + \frac{ED}{QR} \quad (7)
\]

Теперь, объединив равенства (5), (6) и (7), мы получаем:

\[
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{BE}{EQ} = \frac{CE}{ER} = \frac{CE}{QR} + \frac{ED}{QR} \quad (8)
\]

Заметим, что левая часть равенства (8) не зависит от \(QR\), так как это отношение равностороннего четырехугольника. Значит, правая часть равенства (8) также не зависит от \(QR\). Следовательно, каждый из частных результатов, а именно: \(\frac{AB}{PQ}\), \(\frac{BC}{QR}\), \(\frac{BE}{EQ}\), \(\frac{CE}{ER}\), постоянные и равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что при условии равенства трех сторон и двух углов между этими сторонами, четвертые стороны двух выпуклых четырехугольников также равны.