Необхідно продемонструвати, що сума довжин AK і BL дорівнює сумі довжин CK і AL в трикутнику NKL, в якому вписане коло

Давайте начнем с определения вписанного круга и его свойств. Вписанный круг - это круг, который касается всех сторон треугольника. У него есть несколько интересных свойств, одно из которых нам понадобится для решения данной задачи.

Предположим, что в нашем треугольнике NKL вписан круг с центром O. Пусть точки пересечения сторон NKL с кругом обозначены как A, B и C. Мы хотим показать, что сумма длин отрезков AK и BL равна сумме длин отрезков CK и AL.

Для начала обратимся к одному из свойств вписанного круга - теореме тангенциальных отрезков. Согласно этой теореме, если из точки внутри круга провести касательные, они будут равны по длине. Применяя эту теорему, можем заметить, что отрезки AK и AL, а также отрезки BK и BL, каждый из них является касательными к вписанному кругу.

Теперь посмотрим на треугольник NAO. Он является прямоугольным треугольником, так как точка касания круга с его стороной является точкой перпендикуляра. Таким образом, у нас имеется три прямоугольных треугольника: NAO, KBO и LCO.

Из правил тригонометрии для прямоугольного треугольника мы знаем, что катеты в квадрате равны произведению гипотенузы на прилегающий высоту. Применяя это правило, получаем следующее:

В треугольнике NAO:
\(AN^2 = NA \cdot NO\)
\(AL^2 = NA \cdot NO\) (так как AN = AL)

В треугольнике KBO:
\(BK^2 = KO \cdot KO\)
\(BL^2 = BO \cdot BO\) (так как BK = BL)

В треугольнике LCO:
\(CL^2 = LO \cdot LO\)
\(CK^2 = CO \cdot CO\) (так как CL = CK)

Теперь сгруппируем полученные уравнения по парам:

\(AN^2 + AL^2 = NA \cdot NO + NA \cdot NO = 2 \cdot NA \cdot NO\)
\(BK^2 + BL^2 = KO \cdot KO + BO \cdot BO = 2 \cdot KO \cdot BO\)
\(CL^2 + CK^2 = LO \cdot LO + CO \cdot CO = 2 \cdot LO \cdot CO\)

Заметим, что у нас в каждом уравнении есть одинаковый множитель, поэтому мы можем записать это уравнение:

\(AN^2 + AL^2 = BK^2 + BL^2 = CL^2 + CK^2\)

Теперь вернемся к нашей задаче. Мы знаем, что нам нужно показать, что сумма длин отрезков AK и BL равна сумме длин отрезков CK и AL. Пусть данное равенство выполняется:

\(AK + BL = CK + AL\)

Мы можем возвести обе части этого уравнения в квадрат:

\((AK + BL)^2 = (CK + AL)^2\)

Раскроем скобки:

\(AK^2 + 2 \cdot AK \cdot BL + BL^2 = CK^2 + 2 \cdot CK \cdot AL + AL^2\)

Заметим, что левая и правая части этого уравнения являются суммами, которые мы вывели из свойств вписанного круга:

\(AK^2 + BL^2 = BK^2 + KP^2 = CL^2 + CK^2\)
\(2 \cdot AK \cdot BL = 2 \cdot CK \cdot AL\)

Заметим также, что из первого уравнения следует, что:

\(AK^2 + BL^2 = AK^2 + AL^2\)

Это значит, что \(BL^2 = AL^2\), или, другими словами, отрезки BL и AL равны по длине. Тогда из второго уравнения мы получаем, что:

\(AK = CK\)

Таким образом, наше уравнение \(AK + BL = CK + AL\) можно записать как:

\(AK + BL = AK + AL\)

Мы знаем, что \(AK = CK\) и \(BL = AL\), поэтому можем заменить в правой части уравнения:

\(AK + BL = CK + AL = AK + BL\)

Это значит, что сумма длин отрезков AK и BL равна сумме длин отрезков CK и AL, что требовалось доказать.

Таким образом, мы продемонстрировали, что сумма длин отрезков AK и BL действительно равна сумме длин отрезков CK и AL в треугольнике NKL, в котором вписан круг с центром O.