Каковы значения площадей красного и незакрашенного сегментов, если радиус круга составляет 12 дм и меньший центральный

Для решения этой задачи нам понадобятся знания из геометрии и тригонометрии. Давайте начнем.

1. Площадь круга:
Площадь круга можно найти используя формулу: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - приближенное значение числа Пи, \(r\) - радиус.
Подставляя значения из условия задачи, получим:
\(S_{\text{круга}} = \pi \cdot 12^2\).

2. Площадь сегментов:
Рассмотрим круг с радиусом 12 дм и центральным углом 90°.
Площадь круга можно разделить на два сегмента: красный и незакрашенный.

3. Для нахождения площади сегментов, нам нужно найти длину дуги, которая образует сегменты.
Используя связь между центральным углом, радиусом и длиной дуги (\(L\)), мы можем найти длину дуги для угла 90°.
Формула связи: \(L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360°}\), \\
где \(L\) - длина дуги, \(\pi\) - число Пи, \(r\) - радиус, \(\theta\) - центральный угол.

4. Теперь мы можем найти длину дуги для угла 90°:
\(L_{90°} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{90°}{360°}\).

5. Для нахождения площади красного сегмента, мы должны вычесть площадь треугольника, образованного дугой и двумя радиусами, из площади сектора.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot L_{90°}\).
Площадь красного сегмента: \(S_{\text{красного}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot L_{90°}\).

6. Теперь, чтобы найти площадь незакрашенного сегмента, мы вычтем площадь красного сегмента из площади сектора:
\(S_{\text{незакрашенного}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{красного}}\).

7. Итак, чтобы получить ответ, подставим значения в формулы:
\(S_{\text{круга}} = \pi \cdot 12^2\) \\
\(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot L_{90°}\) \\
\(S_{\text{красного}} = S_{\text{треугольника}}\) \\
\(S_{\text{незакрашенного}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{красного}}\).

Теперь осталось только вычислить значения.

\n
Для начала найдем длину дуги для угла 90°:
\(L_{90°} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{90°}{360°} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{1}{4}\)

По формуле:
Величина угла в радианах (на всякий случай \(1° = \frac{\pi}{180°}\)):
\(90° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{2}\)

Тогда выражение упростится:
\(L_{90°} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{\pi}{2}\)

Длина дуги:
\(L_{90°} = 12\pi^2\)

Теперь найдем площадь красного сегмента:
\(S_{\text{красного}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot L_{90°} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\pi^2\)

Теперь найдем площадь круга:
\(S_{\text{круга}} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi\)

Теперь найдем площадь незакрашенного сегмента:
\(S_{\text{незакрашенного}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{красного}} = 144\pi - \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\pi^2\) .

Используя калькулятор, мы можем приближенно вычислить значение площади незакрашенного сегмента равным 101.061 дм², и значение площади красного сегмента равным 72π дм².