Нехай площина α перетинає відрізки ОА і ОВ у точках К і М відповідно. Також відомо, що пряма АВ паралельна площині

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой обратных пропорций. Дано, что \(\dfrac{ОК}{КА} = \dfrac{2}{3}\).

Так как отрезок ОК делит отрезок ОА на две части, пропорция говорит нам, что эти две части имеют отношение 2 к 3.

Пусть длина отрезка ОК равна \(x\). Тогда длина отрезка КА будет \(2x\).

Для того чтобы найти длину отрезка АВ, нам нужно сложить длину отрезка ОК и КА. Таким образом, длина отрезка АВ будет равна:

\[АВ = ОК + КА = x + 2x = 3x\]

Но как нам найти значение \(x\)? Мы можем использовать дополнительную информацию, данную в задаче.

Известно, что прямая АВ параллельна плоскости α. Учитывая это, мы видим, что отрезки АО и ВМ также образуют пропорцию.

Так как отрезок ОК делит отрезок ОА на две части, мы можем записать следующую пропорцию: \(\dfrac{ОК}{КА} = \dfrac{ОМ}{МВ}\).

Так как отрезок ОК равен \(x\), отрезок КА равен \(2x\) и отрезок ОМ равен \(3x\), мы можем записать:

\(\dfrac{x}{2x} = \dfrac{3x}{МВ}\)

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3x}{МВ}\)

Затем мы можем решить это уравнение относительно МВ:

\(\dfrac{3x}{МВ} = \dfrac{1}{2}\)

Умножим обе стороны уравнения на МВ:

\(3x = \dfrac{МВ}{2}\)

Теперь мы знаем, что длина отрезка ОК равна \(x\) и равна \(\dfrac{МВ}{2}\). Подставим это значение в равенство \(3x = \dfrac{МВ}{2}\):

\(3x = \dfrac{МВ}{2}\)

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\(6x = МВ\)

Теперь у нас есть выражение для длины отрезка ВМ: \(МВ = 6x\).

Теперь мы можем заменить \(МВ\) в исходном выражении:

\[АВ = 3x = 3 \cdot \dfrac{МВ}{6} = \dfrac{МВ}{2}\]

Таким образом, длина отрезка АВ равна \(\dfrac{МВ}{2}\). Отношение первоначального отрезка ОК к отрезку КА, равное 2:3, нам говорит, что отношение длины отрезка АВ к длине отрезка ОК равно 1:2.

Итак, длина отрезка АВ составляет половину длины отрезка МВ.