Найти значения тангенциального ускорения a, нормального ускорения аn и полного ускорения для точек на ободе диска

Для начала, давайте найдем угловое ускорение \(\alpha\), используя вторую производную угла поворота \( \phi \) по времени \( t \).

Уравнение, задающее угол поворота, имеет вид:

\[ \phi = A + Bt + Ct^2 + Dt^3 \]

Чтобы найти угловое ускорение, возьмем вторую производную этого уравнения по времени.

\[ \alpha = \frac{{d^2 \phi}}{{dt^2}} = 2C + 6Dt \]

Известно, что \(\alpha\) представляет собой тангенциальное ускорение \(a\) разделенное на радиус диска \(R\):

\[ \alpha = \frac{{a}}{{R}} \]

Таким образом, мы можем выразить тангенциальное ускорение \(a\) следующим образом:

\[ a = \alpha \cdot R = (2C + 6Dt) \cdot R \]

Теперь найдем нормальное ускорение \(\text{а}_n\), которое представляет собой квадрат скорости \(v\) разделенный на радиус диска \(R\):

\[ \text{а}_n = \frac{{v^2}}{{R}} \]

Так как диск вращается вокруг оси, то его скорость \(v\) может быть записана как произведение радиуса диска \(R\) на угловую скорость \(\omega\):

\[ v = R \cdot \omega \]

Таким образом, нормальное ускорение \(\text{а}_n\) может быть переписано следующим образом:

\[ \text{а}_n = \frac{{(R \cdot \omega)^2}}{{R}} = R \cdot \omega^2 \]

И, наконец, полное ускорение \( \text{а}_\text{пол} \) может быть найдено как сумма тангенциального и нормального ускорений.

Таким образом, у нас есть следующие формулы для всех трех ускорений:

\[ a = (2C + 6Dt) \cdot R \]
\[ \text{а}_n = R \cdot \omega^2 \]
\[ \text{а}_\text{пол} = a + \text{а}_n \]

Учитывая радиус диска \( R = 10 \) см и значения коэффициентов \( B = 1 \) рад/с, \( C = 1 \) рад/с\(^2\), \( D = 1 \) рад/с\(^3\), мы можем подставить эти значения в формулы и найти ускорения для точек на ободе диска в течение второй секунды движения.