Найти значение синуса угла между диагоналями четырехугольника со следующими вершинами: A(-2; 2), B(-3; 1), C(7

Чтобы найти значение синуса угла между диагоналями четырехугольника ABCD, нам нужно найти сначала вектора, соответствующие диагоналям. Затем найдем угол между этими векторами, а затем найдем синус этого угла.

Шаг 1: Найдем векторы диагоналей.

Вектор диагонали AC: \(\overrightarrow{AC} = (7 - (-2), 7 - 2) = (9, 5)\)

Вектор диагонали BD: \(\overrightarrow{BD} = (3 - (-3), 1 - 7) = (6, -6)\)

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 9 \cdot 6 + 5 \cdot (-6) = 54 - 30 = 24\)

Шаг 3: Найдем длины векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{AC}\):
\[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}\]

Длина вектора \(\overrightarrow{BD}\):
\[|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}\]

Шаг 4: Найдем синус угла между диагоналями.

\[\sin{\theta} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{24}{\sqrt{106} \cdot \sqrt{72}} = \frac{24}{\sqrt{7632}}\]

Получается, что синус угла между диагоналями равен \(\frac{24}{\sqrt{7632}}\), что можно упростить или оставить в таком виде в зависимости от требуемой точности ответа.