Каковы величины углов ∠MPA, ∠KPA, ∠PAK, ∠PAM в равнобедренном треугольнике MPK с углом ∠MPK, равным 114°?

Для начала рассмотрим данное задание и изначальные данные. У нас есть равнобедренный треугольник MPK, в котором известен угол \(\angle MPK = 114^\circ\). Нам нужно найти величины углов \(\angle MPA, \angle KPA, \angle PAK\) и \(\angle PAM\).

Так как треугольник MPK равнобедренный, то углы \(\angle MPK\) и \(\angle MKP\) равны между собой. Понимая это, мы можем найти величину угла \(\angle MKP\):

\[
\angle MKP = \frac{{180^\circ - \angle MPK}}{2} = \frac{{180^\circ - 114^\circ}}{2} = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ
\]

Теперь у нас есть значение угла \(\angle MKP = 33^\circ\).

Треугольник MPK имеет две равные стороны, а значит, углы, противолежащие этим сторонам, тоже равны. Таким образом, углы \(\angle MPA\) и \(\angle KPA\) равны:

\[
\angle MPA = \angle KPA = \frac{{180^\circ - \angle MPK}}{2} = \frac{{180^\circ - 33^\circ}}{2} = \frac{{147^\circ}}{2} = 73.5^\circ
\]

Теперь у нас есть значения углов \(\angle MPA = 73.5^\circ\) и \(\angle KPA = 73.5^\circ\).

Осталось найти величины углов \(\angle PAK\) и \(\angle PAM\).

Заметим, что эти два угла дополняют угол \(\angle MPK\). То есть:

\[
\angle PAK + \angle PAM = 180^\circ - \angle MPK = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ
\]

Мы можем разделить это равенство на два:

\[
\angle PAK = \angle PAM = \frac{{66^\circ}}{2} = 33^\circ
\]

Таким образом, получаем, что величины углов \(\angle MPA\), \(\angle KPA\), \(\angle PAK\) и \(\angle PAM\) в равнобедренном треугольнике MPK с углом \(\angle MPK = 114^\circ\) равны соответственно:

\(\angle MPA = \angle KPA = 73.5^\circ\) и \(\angle PAK = \angle PAM = 33^\circ\).