Найти значение n, при котором выражение [tex]2^{n+2} +4^{n} - 80[/tex] имеет 10 значащих нулей в его двоичной записи

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Вспомним, что значащими нулями в двоичной записи числа являются нули, расположенные слева от первой единицы. То есть, нам нужно найти значение n такое, что число \(2^{n+2} +4^{n} - 80\) будет иметь 10 нулей перед первой единицей в двоичной записи.

2. Преобразуем выражение \(2^{n+2} +4^{n} - 80\). Заметим, что \(4^n\) эквивалентно \((2^2)^n\), что в свою очередь равно \(2^{2n}\). Мы получаем \(2^{n+2} + 2^{2n} - 80\).

3. Чтобы найти значение n, при котором выражение имеет 10 значащих нулей, нужно найти такое значение n, при котором первая единица в двоичной записи этого выражения будет находиться после 10 нулей.

4. Разложим каждое слагаемое на множители, используя свойство степеней. Мы получим: \(2^{n+2} = 2^2 \cdot 2^n\) и \(2^{2n} = (2^n)^2\). Заменим в выражении соответствующие части: \(2^2 \cdot 2^n + (2^n)^2 - 80\).

5. Раскроем скобки в полученном выражении: \(4 \cdot 2^n + 4^n - 80\).

6. Теперь выражение имеет более простой вид: \(4 \cdot 2^n + 4^n - 80\). Следующая цель - найти значение n, для которого это выражение будет иметь 10 значащих нулей в двоичной записи.

7. Пусть \(M\) - число нулей в двоичной записи числа \(4 \cdot 2^n + 4^n - 80\). Тогда, чтобы найти значение n, мы можем решить следующее уравнение: \(M + 10 = n\).

8. Поскольку мы хотим, чтобы было 10 значащих нулей, то \(M = 10\). Получаем уравнение \(10 + 10 = n\).

9. Решим уравнение: \(20 = n\).

10. Итак, значение n, при котором выражение \(2^{n+2} +4^{n} - 80\) имеет 10 значащих нулей в его двоичной записи, равно 20.

Надеюсь, это объяснение помогло понять, как найти значение n для данного выражения. Если остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задайте их!