Найти вектор с, если его длина равна длине вектора а, а угол между векторами а и с равен углу между векторами а

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать знания о векторной алгебре. Для начала, давайте определимся с необходимыми формулами.

Длина вектора вычисляется с использованием теоремы Пифагора:

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\),

где \(v_x\) и \(v_y\) - компоненты вектора по осям x и y соответственно.

Угол между векторами вычисляется с использованием скалярного произведения:

\(\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\),

где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\),
\(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Теперь приступим к решению задачи.
У нас задано, что длина вектора \(\vec{c}\) равна длине вектора \(\vec{a}\),
то есть \(|\vec{c}| = |\vec{a}|\).
Также, угол между вектором \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) равен углу между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Длина вектора \(\vec{a}\) равна \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно вычислить следующим образом:

\(\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{(1 \cdot 0) + (1 \cdot 1)}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Следовательно, \(\theta = \cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\).

Теперь, мы можем выразить компоненты вектора \(\vec{c}\) с использованием полярной системы координат,
где \(|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}\) и \(\theta\) - угол между вектором \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Так как \(|\vec{c}| = |\vec{a}| = \sqrt{2}\), то \(\sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{2}\).

Далее, используя угол \(\theta\), мы можем записать следующую систему уравнений:

\(\cos{\theta} = \frac{c_x}{|\vec{c}|} = \frac{c_x}{\sqrt{2}}\) (1)
\(\sin{\theta} = \frac{c_y}{|\vec{c}|} = \frac{c_y}{\sqrt{2}}\) (2)

Решая систему уравнений (1) и (2), мы найдем значения компонент вектора \(\vec{c}\).

\(\frac{c_x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow c_x = 1\)
\(\frac{c_y}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow c_y = 1\)

Таким образом, вектор \(\vec{c}\) имеет компоненты \(c_x = 1\) и \(c_y = 1\), то есть \(\vec{c} = \mathbf{i} + \mathbf{j}\).