Найти угол в треугольной пирамиде ABCD, заданной координатами своих вершин: A(d;0;-3), B(0;3;c), C(-2;b;3), D (2;-3;a

Чтобы найти угол в треугольной пирамиде ABCD, заданной координатами своих вершин, нужно использовать понятие скалярного произведения векторов.

Сначала, найдем векторы AB, AC и AD.

Вектор AB = B - A = (0; 3; c) - (d; 0; -3) = (-d; 3; c + 3)
Вектор AC = C - A = (-2; b; 3) - (d; 0; -3) = (-2 - d; b; 6)
Вектор AD = D - A = (2; -3; a) - (d; 0; -3) = (2 - d; -3; a + 3)

Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB · AC = (-d)(-2 - d) + 3b + (c + 3)(6) = 2d + d^2 - 6b + 6c + 18

Аналогично, найдем скалярное произведение векторов AC и AD:

AC · AD = (-2 - d)(2 - d) + b(-3) + 6(a + 3) = -2d - 2d + d^2 + 4 - 2d - 3b + 6a + 18 = -6d + d^2 - 3b + 6a + 22

И, наконец, найдем скалярное произведение векторов AB и AD:

AB · AD = (-d)(2 - d) + 3(-3) + (c + 3)(a + 3) = -2d + d^2 - 9 + ca + 3c + 3a + 9 = d^2 - 2d + ca + 3c + 3a

Итак, у нас есть три скалярных произведения: AB · AC, AC · AD и AB · AD.

Теперь мы можем найти угол между векторами, используя формулу:

cos(theta) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
cos(theta) = (AC · AD) / (|AC| * |AD|)
cos(theta) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|)

где |AB|, |AC| и |AD| - длины векторов AB, AC и AD соответственно.

Длина вектора AB:

|AB| = sqrt((-d)^2 + 3^2 + (c + 3)^2) = sqrt(d^2 + 9 + c^2 + 6c + 9) = sqrt(d^2 + c^2 + 6c + 18)

Длина вектора AC:

|AC| = sqrt((-2 - d)^2 + b^2 + 6^2) = sqrt(4 + 4d + d^2 + b^2 + 36) = sqrt(d^2 + 4d + b^2 + 40)

Длина вектора AD:

|AD| = sqrt((2 - d)^2 + (-3)^2 + (a + 3)^2) = sqrt(4 - 4d + d^2 + 9 + a^2 + 6a + 9) = sqrt(d^2 - 4d + a^2 + 6a + 22)

Теперь, используя найденные значения, мы можем найти значение cos(theta) для каждого из трех углов.

cos(theta) = (2d + d^2 - 6b + 6c + 18) / (sqrt(d^2 + c^2 + 6c + 18) * sqrt(d^2 + 4d + b^2 + 40))
cos(theta) = (-6d + d^2 - 3b + 6a + 22) / (sqrt(d^2 + 4d + b^2 + 40) * sqrt(d^2 - 4d + a^2 + 6a + 22))
cos(theta) = (d^2 - 2d + ca + 3c + 3a) / (sqrt(d^2 + c^2 + 6c + 18) * sqrt(d^2 - 4d + a^2 + 6a + 22))

Примечание: чтобы найти значение угла между векторами ABC и BCD, можно использовать любую из трех формул, так как они должны давать одинаковый результат.
Теперь, подставим значения координат вершин пирамиды ABCD:

A(d; 0; -3), B(0; 3; c), C(-2; b; 3), D(2; -3; a)

И вычислим угол между векторами ABC и BCD, используя формулы, которые мы получили.