Найти угол между диагональю ac1 и плоскостью, образуемой плоскостями abb1 и add1, в прямоугольном параллелепипеде

Для начала, нам понадобится знать некоторые свойства параллелепипеда и плоскостей. В данной задаче у нас есть прямоугольный параллелепипед $abcd{a}_1{b}_1{c}_1{d}_1$ с длинной диагонали.

Параллелепипед имеет следующие характеристики:

- Противоположные грани параллельны.
- Стороны граней параллелепипеда перпендикулярны друг к другу.
- Диагонали параллелепипеда соединяют противоположные вершины и имеют одинаковую длину.

Нам также известно, что плоскость, образованная плоскостями $ab{b}_1$ и $ad{d}_1$, пересекает диагонали параллелепипеда. Чтобы найти угол между диагональю $a{c}_1$ и этой плоскостью, мы можем использовать свойство перпендикулярности.

Давайте приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем направляющий вектор плоскости $ab{b}_1$.

Для этого возьмем два вектора: $\overrightarrow{a}$ - вектор, соединяющий точку $a$ и точку $b$, и $\overrightarrow{b}$ - вектор, соединяющий точку $b$ и точку $b_1$.
Тогда направляющий вектор плоскости $ab{b}_1$ может быть найден с помощью их векторного произведения:
${\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$.

Шаг 2: Теперь найдем направляющий вектор плоскости $ad{d}_1$.

Для этого возьмем два вектора: $\overrightarrow{a}$ - вектор, соединяющий точку $a$ и точку $d$, и $\overrightarrow{d}$ - вектор, соединяющий точку $d$ и точку $d_1$.
Тогда направляющий вектор плоскости $ad{d}_1$ может быть найден с помощью их векторного произведения:
${\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}$.

Шаг 3: Так как у нас есть два направляющих вектора плоскости, мы можем найти их скалярное произведение и длины:

$|{\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}|=|{\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}|\cdot \cos (\theta )$,

где $\theta$ - угол между диагональю $a{c}_1$ и плоскостью, образованной плоскостями $ab{b}_1$ и $ad{d}_1$.

Шаг 4: Решим полученное уравнение для угла $\theta$:

$\cos (\theta )=\frac{|{\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}\cdot {\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}|}{|{\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}|}$.

Теперь вы можете подставить значения векторов ${\overrightarrow{n}}_{ab{b}_1}$ и ${\overrightarrow{n}}_{ad{d}_1}$ и решить уравнение, чтобы найти угол $\theta$.

После нахождения угла $\theta$ вы можете предоставить его в качестве ответа на задачу. Не забудьте указать единицы измерения (например, градусы) и округлить ответ до удобной для вас точности.