Найти смещение от положения равновесия и скорость точки М, находящейся на расстоянии λ/12 от источника колебаний

Для решения данной задачи, нам понадобится найти смещение от положения равновесия и скорость точки М в момент времени T/3. Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем положение равновесия (x_eq) точки М:
Уравнение колебания источника дано в виде ξ(t) = 2cos(30t - π/12). Положение равновесия будет соответствовать ξ(t) = 0, так как в этом случае сила, действующая на точку, будет равна нулю.
Подставим ξ(t) = 0 в уравнение колебания:
2cos(30t - π/12) = 0

Решим это уравнение:
cos(30t - π/12) = 0

30t - π/12 = π/2 или 30t - π/12 = 3π/2

Решаем первое уравнение:
30t - π/12 = π/2
30t = π/2 + π/12
30t = (6π + π)/12
30t = 7π/12
t = (7π/12) / 30
t = 7π / (12 * 30) = π / (12 * 3)
t = π / 36

Решаем второе уравнение:
30t - π/12 = 3π/2
30t = 3π/2 + π/12
30t = (36π + π)/12
30t = 37π/12
t = (37π/12) / 30
t = 37π / (12 * 30) = π / (12 * 10)
t = π / 120

Таким образом, положение равновесия точки М будет соответствовать моментам времени t = π / 36 и t = π / 120.

Шаг 2: Найдем смещение от положения равновесия в момент времени T/3:
Заметим, что T/3 = (π/2) / 3 = π / 6.
Для нахождения смещения от положения равновесия в момент времени T/3, подставим t = π / 6 в уравнение колебания:
ξ(t) = 2cos(30t - π/12)
ξ(π/6) = 2cos(30 * π/6 - π/12)
ξ(π/6) = 2cos(5π/6 - π/12)
ξ(π/6) = 2cos(11π/12)

Вычислим значение cos(11π/12):
cos(11π/12) ≈ -0.2588

Таким образом, смещение от положения равновесия в момент времени T/3 составляет приблизительно -0.2588 мм.

Шаг 3: Найдем скорость точки М в момент времени T/3:
Для нахождения скорости точки М, возьмем производную от уравнения колебания:
v(t) = dξ(t) / dt = -60sin(30t - π/12)

Подставим t = π / 6 в это уравнение:
v(π/6) = -60sin(30 * π/6 - π/12)
v(π/6) = -60sin(π/2 - π/12)
v(π/6) = -60sin(5π/12)

Вычислим значение sin(5π/12):
sin(5π/12) ≈ 0.8660

Таким образом, скорость точки М в момент времени T/3 составляет примерно -60 * 0.8660 мм/с.

Надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам понять, как найти смещение от положения равновесия и скорость точки М в данной задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!