Найти, сколько составляет длина сегмента, отсекаемого на оси x касательной, проведенной к кривой функции y=√x2+2

Хорошо! Давайте решим эту задачу поэтапно.

Шаг 1: Найдите производную функции \(y = \sqrt{x^2 + 2x + 4}\).
Используя правило дифференцирования для функции вида \(y = \sqrt{u}\), мы можем записать:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{dx}\]

Применим это правило и найдем производную:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 4}}\cdot \frac{d(x^2 + 2x + 4)}{dx}\]

Чтобы продолжить, нам необходимо продифференцировать \(x^2 + 2x + 4\) по переменной x. Продифференцируем все слагаемые этой функции по отдельности:
\[\frac{d(x^2 + 2x + 4)}{dx} = \frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(2x)}{dx} + \frac{d(4)}{dx} = 2x + 2\]

Подставим это значение обратно в формулу производной:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 4}}\cdot (2x + 2)\]

Шаг 2: Найдите уравнение касательной линии к кривой в определенной точке.
Уравнение касательной линии в общем виде имеет вид:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки, в которой мы ищем касательную, а \(m\) - ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент мы найдем из производной функции в точке \((x_1, y_1)\).

Подставим значение производной в формулу уравнения касательной и найдем значение \(m\):
\(m = \frac{dy}{dx}\) в точке с заданным значением \(x_1\).

Шаг 3: Подставьте значения \(m\), \(x_1\) и \(y_1\) в уравнение касательной и решите его относительно \(y\), чтобы найти уравнение касательной.

После этого решения мы сможем найти, сколько составляет длина сегмента, отсекаемого на оси \(x\) касательной.