Найти распределение выручки в рублях z в зависимости от курса доллара y, если выручка x не зависит от курса

Для решения данной задачи, необходимо использовать понятие математического ожидания и свойства ожидания. Давайте начнем с определения математического ожидания для случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины - это среднее значение этой величины, усредненное по всем возможным значениям с учетом их вероятностей.

Непосредственный способ вычисления математического ожидания случайной величины заключается в умножении каждого возможного значения на его соответствующую вероятность, а затем суммировании полученных произведений.

Давайте применим данный подход к нашей задаче.

Первым шагом будет вычисление математического ожидания случайной величины x. Исходя из заданных значений xi и pi, имеем следующую таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & p \\
\hline
1000 & 0.7 \\
2000 & 0.3 \\
\hline
\end{array}
\]

Чтобы вычислить математическое ожидание x непосредственным способом, умножим каждое значение x на соответствующую вероятность и сложим полученные произведения:

\[
E(x) = 1000 \cdot 0.7 + 2000 \cdot 0.3 = 700 + 600 = 1300
\]

Таким образом, математическое ожидание x равно 1300.

Теперь перейдем к вычислению математического ожидания случайной величины y. Исходя из заданных значений yi и pi, имеем следующую таблицу:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
y & p \\
\hline
25 & 0.4 \\
27 & 0.6 \\
\hline
\end{array}
\]

Аналогично вычисляем математическое ожидание y непосредственным способом:

\[
E(y) = 25 \cdot 0.4 + 27 \cdot 0.6 = 10 + 16.2 = 26.2
\]

Таким образом, математическое ожидание y равно 26.2.

Но можно вычислить математическое ожидание используя свойства ожидания. Одно из таких свойств гласит, что для случайных величин a и b и константы c справедлива следующая формула:

\[E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c\]

В нашем случае, у нас есть случайная величина z, которая выражается через x и y следующим образом: \(z = x \cdot y\).

Таким образом, мы можем использовать это свойство, чтобы выразить математическое ожидание z через математические ожидания x и y.

\[E(z) = E(x \cdot y) = E(x) \cdot E(y)\]

Подставив значения математических ожиданий x и y, получаем:

\[E(z) = 1300 \cdot 26.2 = 34060\]

Таким образом, математическое ожидание z равно 34060.

Мы получили два разных способа вычисления математического ожидания z: непосредственный способ и используя свойства ожидания. Оба метода приводят к одинаковому результату.