Найти первые три слагаемых и записать коэффициент при x в биномиальном разложении при возрастании степени

Добро пожаловать! Давайте решим задачу по нахождению первых трех слагаемых и коэффициента при \(x\) в биномиальном разложении для выражений \((3x + 1)^5\) и \((1 - x)^5\).

1) Для выражения \((3x + 1)^5\) мы используем формулу бинома Ньютона:

\[(a + b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + \ldots + C_n^{n-1}a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n\]

где \(a\) и \(b\) - числа или переменные, а \(C_n^k\) обозначает число сочетаний.

В нашем случае \(a = 3x\) и \(b = 1\), а \(n = 5\). Рассчитаем первые три слагаемых и коэффициент при \(x\):

Первое слагаемое:
\[C_5^0(3x)^5 \cdot 1^0 = 3^5x^5 = 243x^5\]

Второе слагаемое:
\[C_5^1(3x)^4 \cdot 1^1 = 5 \cdot 3^4x^4 \cdot 1 = 405x^4\]

Третье слагаемое:
\[C_5^2(3x)^3 \cdot 1^2 = 10 \cdot 3^3x^3 \cdot 1^2 = 270x^3\]

Таким образом, первые три слагаемых в биномиальном разложении \((3x + 1)^5\) равны 243x^5, 405x^4 и 270x^3 соответственно. Коэффициент при \(x\) для всех трех слагаемых равен 243, 405 и 270 соответственно.

2) Теперь давайте рассмотрим выражение \((1 - x)^5\). Снова используя формулу бинома Ньютона, найдем первые три слагаемых и коэффициент при \(x\):

Первое слагаемое:
\[C_5^0 1^5 \cdot (-x)^0 = 1\]

Второе слагаемое:
\[C_5^1 1^4 \cdot (-x)^1 = 5 \cdot 1 \cdot (-x) = -5x\]

Третье слагаемое:
\[C_5^2 1^3 \cdot (-x)^2 = 10 \cdot 1^2 \cdot x^2 = 10x^2\]

Таким образом, первые три слагаемых в биномиальном разложении \((1 - x)^5\) равны 1, -5x и 10x^2 соответственно. Коэффициент при \(x\) для всех трех слагаемых равен 0, -5 и 10.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить первые слагаемые и коэффициент при \(x\) в биномиальном разложении для данных выражений. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!