Найти: общую длину отрезков, которые соединяют точки А и В со средней точкой точки

Данная задача связана с геометрией. Если точка М является средней точкой отрезка АВ, это означает, что отрезок АМ равен по длине отрезку МВ.

Для решения данной задачи мы можем использовать координаты точек А и В на плоскости.

Предположим, что координаты точки А равны (х1, у1), координаты точки В равны (х2, у2), а координаты средней точки М равны (хс, ус).

Чтобы найти длину отрезка, соединяющего точки А и В, мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к координатной плоскости.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\]

Применим эту формулу для отрезка АМ и для отрезка МВ.

Отрезок АМ:
\[d_{AM} = \sqrt{(хс - х1)^2 + (ус - у1)^2}\]

Отрезок МВ:
\[d_{МB} = \sqrt{(х2 - хс)^2 + (у2 - ус)^2}\]

Так как отрезок АМ равен по длине отрезку МВ, то

\[d_{AM} = d_{МB}\]

Подставляем формулу для расстояния отрезка АМ и отрезка МВ и приравниваем их:

\[\sqrt{(хс - х1)^2 + (ус - у1)^2} = \sqrt{(х2 - хс)^2 + (у2 - ус)^2}\]

Теперь возводим обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[(хс - х1)^2 + (ус - у1)^2 = (х2 - хс)^2 + (у2 - ус)^2\]

Раскрываем скобки:

\(хс^2 - 2хсх1 + х1^2 + ус^2 - 2усу1 + у1^2 = х2^2 - 2х2хс + хс^2 + у2^2 - 2у2ус + ус^2\)

Сокращаем одинаковые члены:

\(- 2хсх1 + х1^2 - 2усу1 + у1^2 = х2^2 - 2х2хс + у2^2 - 2у2ус\)

Группируем члены, содержащие хс и ус:

\(- 2хсх1 + 2х2хс = х1^2 - у1^2 - 2усу1 + у2^2 - 2у2ус + х2^2\)

Выделяем хс как общий множитель:

\(2хс(х2 - х1) = (х1^2 - у1^2) - 2ус(у1 - у2) + х2^2 - у2^2\)

Делим обе части равенства на 2(х2 - х1):

\[хс = \frac{{(х1^2 - у1^2) - 2ус(у1 - у2) + х2^2 - у2^2}}{{2(х2 - х1)}}\]

Таким образом, мы получаем формулу для нахождения координаты хс - средней точки отрезка, а значение yс будет точно таким же.

Для нахождения длины отрезков АМ и МВ, вычисляем значения:

Отрезок АМ:
\[d_{AM} = \sqrt{(хс - х1)^2 + (ус - у1)^2}\]

Отрезок МВ:
\[d_{МB} = \sqrt{(х2 - хс)^2 + (у2 - ус)^2}\]

Таким образом, задача решена.