Які довжини двох сторін трикутника, які становлять 4 см і 8 см, при куті між ними 60 градусів? Також, знайдіть довжину

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам вычислить длину третьей стороны треугольника и его площадь.

Теорема косинусов гласит: в любом треугольнике квадрат длины одной из его сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон, умноженной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Известно, что длины двух сторон треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними составляет 60 градусов. Обозначим эти стороны как a = 4 см и b = 8 см, а угол между ними как C = 60 градусов.

Теперь применим формулу теоремы косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Подставим значения:

\[c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[c^2 = 16 + 64 - 64 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[c^2 = 80 - 64 \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 80 - 32\]

\[c^2 = 48\]

Теперь найдем длину третьей стороны треугольника:

\[c = \sqrt{48} \approx 6,928\] (округлим до трех знаков после запятой)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где p - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Подставим значения и вычислим площадь:

\[p = \frac{4 + 8 + 6.928}{2} = 9.964\] (округлим до трех знаков после запятой)

\[S = \sqrt{9.964 \cdot (9.964 - 4) \cdot (9.964 - 8) \cdot (9.964 - 6.928)}\]

\[S = \sqrt{9.964 \cdot 5.964 \cdot 1.964 \cdot 3.036} \approx 15.588\] (округлим до трех знаков после запятой)

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет примерно 6.928 см, а его площадь равна примерно 15.588 квадратных единиц.