Каков радиус сферы, описывающей данную пирамиду, если двугранный угол при ребре основания равен альфа, а сторона

Для решения задачи необходимо знать свойства пирамиды и использовать геометрические соотношения.

В данной задаче у нас имеется пирамида с основанием, и мы хотим найти радиус описанной вокруг нее сферы. Для начала определимся с обозначениями. Пусть сторона основания пирамиды равна \(a\), а двугранный угол при одном из ее ребер равен \(\alpha\).

Заметим, что пирамида и описанная вокруг нее сфера имеют общий центр, а также радиус сферы равен расстоянию от центра сферы до любой вершины пирамиды.

Для начала найдем высоту пирамиды \(h\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, составленный из высоты пирамиды, радиуса сферы и половины одной из сторон основания пирамиды.

Из этого треугольника можем получить следующее соотношение:
\[\sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) = \frac{{\frac{{a}}{2}}}{{h}}\]

Отсюда находим высоту пирамиды:
\[h = \frac{{\frac{{a}}{2}}}{{\sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right)}}\]

Теперь, зная высоту пирамиды \(h\), можем найти радиус сферы \(R\). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, составленный из радиуса сферы, половины стороны основания пирамиды и высоты пирамиды.

Из этого треугольника можем получить следующее соотношение:
\[\sin\left(\frac{{\pi - \alpha}}{2}\right) = \frac{{R}}{{h}}\]

Отсюда находим радиус сферы:
\[R = \frac{{h \cdot \sin\left(\frac{{\pi - \alpha}}{2}\right)}}{{\sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right)}}\]

Таким образом, радиус сферы, описывающей данную пирамиду, равен \(\frac{{h \cdot \sin\left(\frac{{\pi - \alpha}}{2}\right)}}{{\sin\left(\frac{{\alpha}}{2}\right)}}\).

Для полного решения задачи значения стороны основания \(a\) и двугранного угла \(\alpha\) необходимо подставить в данную формулу и произвести необходимые вычисления.