Найти максимальную массу точки, при которой движение будет апериодическим, в дифференциальном уравнении движения

Для начала, давайте разберемся с терминологией. Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, описывает движение материальной точки. В уравнении присутствуют несколько переменных:

m - масса материальной точки,
x(t) - позиция точки в зависимости от времени t,
x"(t) - вторая производная позиции точки по времени (ускорение).
Теперь перейдем к решению. Уравнение движения материальной точки дано как:

m x" + 4 x" + 2 x = 0.

Чтобы найти максимальную массу точки, при которой движение будет апериодическим (т.е., не будет повторяться), мы должны определить условия, при которых решение уравнения будет иметь только затухающие колебания.

Чтобы найти такое решение, мы сначала должны найти характеристическое уравнение. Для этого заменим x(t) на e^rt, где r - неизвестное значение. Получим:

m r^2 + 4 r + 2 = 0. (1)

Теперь решим это уравнение относительно r. Обратите внимание, что уравнение (1) является квадратным уравнением относительно r. Решение этого уравнения даст нам значения характеристических корней.

Используя квадратное уравнение:

r = (-4 ± sqrt(4^2 - 4 * m * 2))/(2 * m).

Теперь нам нужно изучить различные случаи в зависимости от значения дискриминанта (выражения под корнем). Решение станет апериодическим только в том случае, если действительная часть характеристических корней будет отрицательной.

1. Если дискриминант больше нуля, т.е. (4^2 - 4 * m * 2) > 0, то есть \(16 - 8m > 0\), и получаем \(m < \frac{16}{8} = 2\). В этом случае у нас есть два различных действительных корня, и движение будет гармоническим, а не апериодическим.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. (4^2 - 4 * m * 2) = 0, то есть \(16 - 8m = 0\), то у нас есть один действительный корень. В этом случае движение также будет гармоническим.

3. Если дискриминант меньше нуля, т.е. (4^2 - 4 * m * 2) < 0, то есть \(16 - 8m < 0\) или \(m > 2\). В этом случае у нас нет действительных корней, и движение будет апериодическим.

Итак, мы обнаружили, что движение будет апериодическим только при условии \(m > 2\). То есть, максимальная масса материальной точки, при которой движение будет апериодическим, составляет 2 кг или больше.