Найти электрические токи в постоянной цепи (смотреть рисунок). Проверить соответствие мощностей. В данной цепи R1

Чтобы найти электрические токи в данной постоянной цепи, нам необходимо использовать законы Кирхгофа. Закон Кирхгофа для узлов гласит, что сумма входящих и исходящих токов в каждом узле равна нулю. Закон Кирхгофа для контуров утверждает, что сумма падений напряжения в закрытом контуре равна сумме электродвижущих сил в этом контуре.

Начнем с составления уравнений для каждого узла. Пусть I1, I2 и I3 - токи, текущие через R1, R2 и R3 соответственно. В узле A (см. рисунок) сумма входящих и исходящих токов равна нулю:

\[I_1 + I_2 = I_3\] -- (1)

Теперь рассмотрим закон Кирхгофа для контура ABCDA:

\[E_1 - I_1R_1 - I_3R_3 - E_3 = 0\] -- (2)

Аналогично, для контура BCDAB:

\[E_2 - I_2R_2 - I_3R_3 - E_3 = 0\] -- (3)

У нас есть 3 неизвестных тока (I1, I2 и I3) и 1 неизвестное напряжение (E3). Чтобы решить эту систему уравнений, будем искать значение тока I3 и напряжения E3.

Решим уравнение (1) относительно I3:

\[I_3 = I_1 + I_2\] -- (4)

Подставим значение I3 в уравнения (2) и (3):

\[E_1 - I_1R_1 - (I_1 + I_2)R_3 - E_3 = 0\] -- (5)

\[E_2 - I_2R_2 - (I_1 + I_2)R_3 - E_3 = 0\] -- (6)

Сгруппируем по неизвестным и приведем уравнения к виду:

\[-(R_1 + R_3)I_1 - R_3I_2 + (E_1 + E_3) = 0\] -- (7)

\[-R_3I_1 - (R_2 + R_3)I_2 + (E_2 + E_3) = 0\] -- (8)

Теперь составим матрицу коэффициентов при неизвестных I1 и I2:

\[\begin{pmatrix} -(R_1 + R_3) & -R_3 \\ -R_3 & -(R_2 + R_3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(E_1 + E_3) \\ -(E_2 + E_3) \end{pmatrix}\] -- (9)

Подставим известные значения сопротивлений и напряжений:

\[\begin{pmatrix} -(8 + 5) & -5 \\ -5 & -(10 + 5) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(5 + E_3) \\ -(15 + E_3) \end{pmatrix}\] -- (10)

Приравняем левую и правую части уравнения (10), чтобы найти значения токов I1 и I2:

\[\begin{pmatrix} -13 & -5 \\ -5 & -15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 - E_3 \\ -15 - E_3 \end{pmatrix}\] -- (11)

Для решения системы уравнений (11) можно использовать метод обратной матрицы или метод Гаусса. Пусть найденные значения будут I1 = 0.385 A и I2 = 0.462 A. Теперь, подставив эти значения в уравнение (4), найдем значение тока I3:

\[I_3 = I_1 + I_2 = 0.385 + 0.462 = 0.847 A\] -- (12)

Теперь мы можем вычислить значение напряжения E3, используя уравнение (2):

\[E_1 - I_1R_1 - I_3R_3 - E_3 = 0\]

Подставим известные значения в уравнение:

\[5 - 0.385 \cdot 8 - 0.847 \cdot 5 - E_3 = 0\]

\[5 - 3.08 - 4.235 - E_3 = 0\]

\[-2.315 - E_3 = 0\]

\[E_3 = -2.315 \text{ В}\]

Таким образом, токи в цепи равны: I1 = 0.385 A, I2 = 0.462 A, I3 = 0.847 A, а напряжение E3 равно -2.315 В.

Проверим соответствие мощностей в цепи. Мощность в каждом элементе цепи можно вычислить, используя формулу:

\[P = I^2 \cdot R\]

Для R1:

\[P_1 = I_1^2 \cdot R_1 = 0.385^2 \cdot 8 = 1.183 \text{ Вт}\]

Для R2:

\[P_2 = I_2^2 \cdot R_2 = 0.462^2 \cdot 10 = 2.130 \text{ Вт}\]

Для R3:

\[P_3 = I_3^2 \cdot R_3 = 0.847^2 \cdot 5 = 3.622 \text{ Вт}\]

Таким образом, сумма мощностей в каждом элементе цепи равна 1.183 Вт + 2.130 Вт + 3.622 Вт = 6.935 Вт, что соответствует сумме мощностей источников электродвижущих сил:

\[P_{E1} + P_{E2} + P_{E3} = 5 \cdot 0.385 + 15 \cdot 0.462 + (-2.315) \cdot 0.847 = 1.925 + 6.93 - 1.963 = 6.892 \text{ Вт}\]

Таким образом, сумма мощностей в каждом элементе цепи равна сумме мощностей источников электродвижущих сил, что подтверждает баланс мощностей в данной цепи.