Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, если четвертый элемент равен 15, а шестой элемент равен

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу для элементов геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-й элемент прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер элемента прогрессии.

Мы знаем, что четвертый элемент равен 15, поэтому можно записать:

\[a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} = 15\]

Также, известно, что шестой элемент равен 45:

\[a_6 = a_1 \cdot q^{(6-1)} = 45\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(q\)). Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, мы можем разделить второе уравнение на первое:

\[\frac{{a_6}}{{a_4}} = \frac{{45}}{{15}}\]

Сокращаем дробь:

\[3 = q^2\]

Из этого уравнения можно увидеть, что \(q\) должен быть равен 3, так как любое число, возведенное в квадрат и равное 3, дает 3.

Теперь, чтобы найти первый элемент прогрессии (\(a_1\)), мы можем подставить \(q\) в любое из наших первоначальных уравнений. Давайте возьмем первое:

\[a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} = 15\]

Подставляем \(q = 3\):

\[a_1 \cdot 3^3 = 15\]

Упрощаем:

\[a_1 \cdot 27 = 15\]

Деля обе части на 27, мы можем найти значение \(a_1\):

\[a_1 = \frac{{15}}{{27}} = \frac{{5}}{{9}}\]

Таким образом, знаменатель возрастающей геометрической прогрессии равен \(\frac{{5}}{{9}}\).