Найдите значения всех углов треугольника АВС, если известно, что угол при вершине является вдвое меньше углов

Для решения данной задачи нам нужно найти значения всех углов треугольника АВС. Из условия задачи известно, что угол при вершине является вдвое меньше углов при основании.

Предположим, что углы при основании треугольника АВС равны \(\angle B\) и \(\angle C\), а угол при вершине А равен \(\angle A\). Согласно условию, угол А равен углу \(\angle B\).

Используем свойство суммы углов треугольника. Сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Таким образом, у нас есть две угловые суммы, содержащие угол А:

\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ (1)\]
\[\angle A + \angle B = 180^\circ (2)\]

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы избавиться от угла C:

\[\angle C = \angle A\]

Теперь у нас осталось только одно уравнение, в котором все углы известны:

\[\angle A + \angle B + \angle A = 180^\circ\]
\[2\angle A + \angle B = 180^\circ\]

Из условия задачи также следует, что угол А равен углу \(\angle B\). Пусть значение этого угла равно \(x\). Тогда получим следующее уравнение:

\[2x + x = 180^\circ\]
\[3x = 180^\circ\]
\[x = 60^\circ\]

Таким образом, угол \(\angle A\) и угол \(\angle B\) равны 60 градусов, а угол \(\angle C\) равен углу \(\angle A\) и также составляет 60 градусов.

Итак, значения всех углов треугольника АВС равны: \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\).