Найдите значения α и β, при которых точка C принадлежит прямой AB. Запишите сумму найденных значений

Хорошо, давайте разберемся в этой задаче. Чтобы найти значения α и β при которых точка C принадлежит прямой AB, нам нужно использовать уравнение прямой. Уравнение прямой может иметь несколько форм, но в этом случае мы будем использовать уравнение вектора.

Предположим, что прямая AB имеет точку A с координатами (x_1, y_1) и точку B с координатами (x_2, y_2). Пусть точка C имеет координаты (x, y). Отметим, что вектор AB можно выразить как разность между координатами точек B и A:
\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)

Пусть вектор AC имеет координаты (α, β). Тогда точка C будет принадлежать прямой AB, если векторы AB и AC коллинеарны, то есть параллельны.

Коллинеарность векторов означает, что они имеют одинаковое направление или противоположное направление. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Мы можем записать это в виде соотношения:
\(\cfrac{x_2 - x_1}{α} = \cfrac{y_2 - y_1}{β}\)

Мы хотим найти значения α и β, при которых это соотношение выполняется. Решим уравнение относительно α. Домножим обе стороны на β:
\(β(x_2 - x_1) = α(y_2 - y_1)\)

Теперь решим уравнение относительно β, домножив обе стороны на α:
\(α(y_2 - y_1) = β(x_2 - x_1)\)

Таким образом, мы получили два уравнения:
\(β(x_2 - x_1) = α(y_2 - y_1)\)
\(α(y_2 - y_1) = β(x_2 - x_1)\)

Чтобы найти значения α и β, суммируем эти два уравнения:
\(β(x_2 - x_1) + α(y_2 - y_1) = α(y_2 - y_1) + β(x_2 - x_1)\)

Теперь мы видим, что значение α и β не зависят от значений x_1, x_2, y_1 и y_2. Значит, сумма найденных значений равна 1.

Таким образом, сумма найденных значений α и β равна 1.