Найдите значения х, при которых уравнение 3sin2x-4cosx+3sinx-2=0 имеет корни на интервале от π до 2π и от 2π

Рассмотрим данное уравнение:

\[3\sin^2x - 4\cos x + 3\sin x - 2 = 0.\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых это уравнение имеет корни на интервале от \(\pi\) до \(2\pi\), исследуем его шаг за шагом:

1. Для начала перепишем уравнение в терминах только синусов:

\[3(1 - \cos^2x) - 4\cos x + 3\sin x - 2 = 0.\]

2. Раскроем скобки:

\[3 - 3\cos^2x - 4\cos x + 3\sin x - 2 = 0.\]

3. Упорядочим слагаемые:

\[-3\cos^2x - 4\cos x + 3\sin x + 1 = 0.\]

4. Заметим, что данное уравнение является квадратным по \(\cos x\). Чтобы решить его, введем замену \(t = \cos x\), тогда получим:

\[-3t^2 - 4t + 3\sin x + 1 = 0.\]

5. Теперь нужно выразить \(\sin x\) через \(t\). Воспользуемся формулой для синуса:

\[\sin^2x = 1 - \cos^2x.\]

Так как наша цель — выразить \(\sin x\) через \(t\), подставим \(1 - t^2\) вместо \(\cos^2x\):

\[\sin^2x = 1 - (1 - t^2) = t^2.\]

6. Заменим \(\sin x\) на \(\pm \sqrt{t^2}\). Здесь используется \(\pm\), так как синус может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значений \(x\). Теперь уравнение выглядит следующим образом:

\[-3t^2 - 4t + 3\pm t = 0.\]

7. Объединим слагаемые:

\[-3t^2 - 3t - 4t + 3 = 0.\]

8. Факторизуем уравнение:

\[-(t-1)(3t+3) - 4(t-1) = 0.\]

9. Вынесем общий множитель:

\[(t-1)(-3t-3-4) = 0.\]

10. Упростим:

\[(t-1)(-3t-7) = 0.\]

11. Найдем значения \(t\), при которых это равенство выполняется:

a) \(t-1 = 0\) даёт \(t = 1\).
b) \(-3t-7 = 0\) даёт \(t = -\frac{7}{3}\).

12. Теперь найдем значения \(x\) для найденных значений \(t\):

a) Для \(t = 1\) имеем:

\(\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

b) Для \(t = -\frac{7}{3}\) получаем:

\(\cos x = -\frac{7}{3}\). Значение \(-\frac{7}{3}\) не лежит в области значений функции \(\cos x\) на интервале от \(\pi\) до \(2\pi\). Следовательно, уравнение не имеет корней, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, на интервале от \(\pi\) до \(2\pi\) единственное решение уравнения \(3\sin^2x - 4\cos x + 3\sin x - 2 = 0\) задается формулой \(x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).