Найдите значение x, удовлетворяющее уравнению cos x + cos 5x = 0, и определите наименьший положительный корень

Решим данное уравнение шаг за шагом, чтобы выяснить значение \( x \).

Изначально, у нас есть уравнение:
\[ \cos x + \cos 5x = 0 \]

Мы можем использовать формулу суммы косинусов для упрощения данного уравнения:
\[ \cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{{a + b}}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{{a - b}}{2}\right) \]

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получаем:
\[ 2 \cos \left(\frac{{6x}}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{{4x}}{2}\right) = 0 \]

Учитывая, что \(\cos\) является равным нулю только при \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число, исследуем оба множителя уравнения:

1. \(\cos \left(\frac{{6x}}{2}\right) = \cos 3x = 0\)
Значит, \(\cos 3x = 0\) при \(3x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
Деля оба выражения на 3, получаем: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\), где \(k\) - целое число.

2. \(\cos \left(\frac{{4x}}{2}\right) = \cos 2x = 0\)
Значит, \(\cos 2x = 0\) при \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).
Деля оба выражения на 2, получаем: \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\), где \(k\) - целое число.

Теперь, чтобы найти наименьший положительный корень в градусах, нужно ограничиться \(x\) в диапазоне от 0 до 360 градусов (или от 0 до \(2\pi\) радиан).

Подставляя значения \(k = 0\) в оба выражения, получаем:
\(x = \frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{4}\)

Однако, для определения наименьшего положителного корня, нужно найти более детальное решение.

Подставляя значения \(k = 1\) в оба выражения, получаем:
\(x = \frac{\pi}{3}\), \(x = \frac{\pi}{2}\)

Заметим, что у нас уже есть положительный корень в диапазоне от 0 до \(2\pi\) радиан. Предположим, что у нас есть меньший положительный корень. Рассмотрим значение \(k = -1\):

Подставляя значения \(k = -1\) в оба выражения, получаем:
\(x = -\frac{\pi}{6}\), \(x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\)

Теперь у нас есть два корня, но один из них, \(x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\), является отрицательным.

Итак, наименьший положительный корень равен \(\frac{\pi}{6}\) радиан или примерно \(30^\circ\) в градусах.