Найдите значение выражения корень из a^3 - a поделенный на a - 2 * корень из a + 1 + 1, и предоставьте подробное

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Выражение, которое нам нужно вычислить, выглядит следующим образом: \(\dfrac{\sqrt{a^3 - a}}{a - 2\sqrt{a + 1} + 1}\)

1. Начнем с разложения числителя \(\sqrt{a^3 - a}\). Это можно записать как \(\sqrt{a(a^2 - 1)}\).

Здесь мы используем факт, что \(a^3 - a = a(a^2 - 1)\).

2. Продолжим с упрощением знаменателя \(a - 2\sqrt{a + 1} + 1\).

Заметим, что это является разностью квадратов между \(a\) и \(\sqrt{a + 1}\). Мы можем записать его как \((\sqrt{a} - \sqrt{1})^2\), что эквивалентно \((\sqrt{a} - 1)^2\).

Мы используем формулу \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) для разложения знаменателя.

3. Теперь мы можем записать исходное выражение следующим образом:

\(\dfrac{\sqrt{a(a^2 - 1)}}{(\sqrt{a} - 1)^2}\)

4. Далее, мы можем упростить числитель.

Для этого разложим \(\sqrt{a(a^2 - 1)}\) как \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2 - 1}\).

5. Исходное выражение становится:

\(\dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2 - 1}}{(\sqrt{a} - 1)^2}\)

6. Теперь применим одно из свойств корня для упрощения выражения.

Свойство корня гласит, что \(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}\). В нашем случае, мы можем объединить \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2 - 1}\) в \(\sqrt{a(a^2 - 1)}\).

7. Преобразуем выражение в более простую форму:

\(\dfrac{\sqrt{a(a^2 - 1)}}{(\sqrt{a} - 1)^2} = \dfrac{\sqrt{a(a^2 - 1)}}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} - 1)}\)

8. Видим, что \((\sqrt{a} - 1)^2\) в знаменателе сокращается с числителем \(\sqrt{a(a^2 - 1)}\), и мы получаем:

\(\dfrac{\cancel{\sqrt{a(a^2 - 1)}}}{\cancel{(\sqrt{a} - 1)}(\sqrt{a} - 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{a} - 1}\)

Таким образом, значение данного выражения равно \(\dfrac{1}{\sqrt{a} - 1}\).