Найдите значение тангенса угла между плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, и плоскостью

Для начала, давайте разберемся с геометрической ситуацией.

У нас есть призма АВСА1B1С1, где АВ=4 и BB1=12. Плоскость, проходящая через середину ребра АА1 и прямую ВС, пересекает плоскость, образующую основание призмы. Нам нужно найти значение тангенса угла между этими двумя плоскостями.

Давайте начнем с того, что найдем угол между этими плоскостями. Если угол между двумя плоскостями равен α, то тангенс этого угла определяется как отношение синуса угла и косинуса угла.

Теперь давайте найдем синус и косинус угла α. Мы знаем, что плоскость С1СА1 содержит ребро СС1, и она перпендикулярна плоскости АВСА1B1С1.

Давайте обратимся к основанию призмы АВСА1B1С1. Там у нас есть треугольник СС1А1, где СС1=12/2=6 (половина ребра BB1), А1С=4/2=2 (половина ребра АВ) и СА1=5 (гипотенуза треугольника).

Теперь мы можем найти синус угла α, использовав соотношение \(\sin\alpha = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\). Поэтому, \(\sin\alpha=\frac{2}{5}\).

Косинус угла α можно найти с помощью соотношения \(\cos\alpha = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\). Поэтому, \(\cos\alpha = \frac{{\sqrt{5^2-2^2}}}{{5}} = \frac{{\sqrt{21}}}{{5}}\).

Теперь, чтобы найти значение тангенса угла α, мы просто поделим синус угла на косинус угла. Таким образом, \(\tan\alpha = \frac{{\sin\alpha}}{{\cos\alpha}} = \frac{{\frac{2}{5}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{{5}}}} = \frac{2}{\sqrt{21}}\).

Резюмируя, значение тангенса угла между плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, и плоскостью, образующей основание призмы АВСА1B1С1, составляет \(\frac{2}{\sqrt{21}}\).