Найдите значение индуктивности колебательного контура, если на его обкладках конденсатора напряжение меняется по закону

Чтобы найти значение индуктивности \(L\) колебательного контура, мы можем воспользоваться формулой:

\[u = -L \cdot \frac{{di}}{{dt}}\]

где \(u\) - напряжение на обкладках конденсатора, \(L\) - индуктивность контура, \(i\) - ток, протекающий через контур, и \(\frac{{di}}{{dt}}\) - производная тока по времени.

Из данного условия, у нас уже задано уравнение для напряжения \(u = 50 \cos(10^4\pi t)\) и значение ёмкости конденсатора \(C = 0.4\) мкФ.

Для решения задачи, нам также понадобятся следующие связи между величинами в колебательном контуре:

\[i = C \cdot \frac{{du}}{{dt}}\]
\[\frac{{di}}{{dt}} = - C \cdot \frac{{d^2u}}{{dt^2}}\]

Мы можем получить значение тока \(i\), взяв производную напряжения \(u\) и умножив ее на ёмкость \(C\):

\[i = C \cdot \frac{{du}}{{dt}} = 0.4 \cdot \frac{{d}}{{dt}} [50 \cos(10^4\pi t)]\]

Проведем дифференцирование:

\[i = 0.4 \cdot -\pi \cdot 10^4 \cdot 50 \sin(10^4\pi t)\]

Теперь мы можем найти производную тока \(\frac{{di}}{{dt}}\), используя формулу:

\[\frac{{di}}{{dt}} = - C \cdot \frac{{d^2u}}{{dt^2}} = -0.4 \cdot \frac{{d}}{{dt}} [-\pi \cdot 10^4 \cdot 50 \sin(10^4\pi t)]\]

Производная второго порядка будет:

\[\frac{{di}}{{dt}} = -0.4 \cdot \pi \cdot (10^4)^2 \cdot 50 \cos(10^4\pi t)\]

Теперь мы знаем значение \(\frac{{di}}{{dt}}\), и мы можем подставить его в уравнение \(u = -L \cdot \frac{{di}}{{dt}}\):

\[50 \cos(10^4\pi t) = -L \cdot (-0.4 \cdot \pi \cdot (10^4)^2 \cdot 50 \cos(10^4\pi t))\]

Заметим, что \(\cos(10^4\pi t)\) является общим множителем и сократится:

\[1 = -L \cdot (-0.4 \cdot \pi \cdot (10^4)^2)\]

Теперь, решив уравнение относительно \(L\), мы найдем значение индуктивности:

\[L = \frac{1}{{0.4 \cdot \pi \cdot (10^4)^2}}\]

Теперь, подставляя значения и вычисляя, получим окончательный ответ:

\[L = \frac{1}{{0.4 \cdot \pi \cdot (10^4)^2}} \approx 2.53 \, \text{мГн}\]

Таким образом, ответ на задачу: значение индуктивности колебательного контура составляет примерно 2,53 мГн, что ближе всего к варианту 1) 2,5 мГн.