Найдите, являются ли значения -1 и 3 решениями системы уравнений х2=корень у-2 х^2+у^2=10

Хорошо, рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{align*}
x^2 &= \sqrt{y} - 2 \quad (1) \\
x^2 + y^2 &= 10 \quad (2)
\end{align*}
\]

Для начала, выразим \(x^2\) из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:

\[
(\sqrt{y} - 2)^2 + y^2 = 10
\]

Раскроем скобки:

\[
(y - 4\sqrt{y} + 4) + y^2 = 10
\]

Упростим уравнение:

\[
y^2 + y - 4\sqrt{y} + 4 = 10
\]

Перенесем все в одну сторону:

\[
y^2 + y - 4\sqrt{y} - 6 = 0
\]

Заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной \(y\). Извлечем корни из этого уравнения, используя квадратное уравнение. Решениями будут:

\[
y = -3 \quad \text{или} \quad y = 2
\]

Теперь, чтобы определить, являются ли значения -1 и 3 решениями системы уравнений, мы подставим их вместо \(y\) в оба уравнения и проверим, выполняются ли они.

Для \(y = -1\):

\[
\begin{align*}
x^2 &= \sqrt{-1} - 2 \\
x^2 &= \text{невещественное число} \quad \text{(не выполняется)}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
x^2 + (-1)^2 &= 10 \\
x^2 + 1 &= 10 \\
x^2 &= 9 \\
x &= 3 \quad \text{(выполняется)}
\end{align*}
\]

Таким образом, \(y = -1\) не является решением системы уравнений, но \(x = 3\) является решением.

Для \(y = 3\):

\[
\begin{align*}
x^2 &= \sqrt{3} - 2 \\
x^2 &= \sqrt{3} - 2 \quad \text{(выполняется)}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
x^2 + 3^2 &= 10 \\
x^2 + 9 &= 10 \\
x^2 &= 1 \\
x &= \pm 1 \quad \text{(выполняется)}
\end{align*}
\]

Таким образом, \(y = 3\) также является решением системы уравнений, и соответствующие значения \(x\) равны \(\pm 1\).

Итак, значение \(-1\) является решением только для первого уравнения, а значение \(3\) является решением и для первого, и для второго уравнения.