Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна и площадь боковой поверхности конуса равна 48π

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знания об усеченных конусах и их свойствах.

Дано, что высота исходного конуса равна \(h\), а площадь боковой поверхности конуса равна \(48\pi\). Обозначим радиус основания исходного конуса как \(R\), а радиус основания усеченного конуса как \(r\).

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить в виде формулы:
\[S = \pi \cdot R \cdot l,\]
где \(l\) - образующая конуса.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности исходного конуса равна 48\(\pi\), поэтому можем записать:
\[48\pi = \pi \cdot R \cdot l.\]
Отсюда получаем уравнение:
\[R \cdot l = 48.\]

Также, известно, что площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна \(S"\). Опять же, выразим это в формулу:
\[S" = \pi \cdot r \cdot l.\]

Итак, у нас есть два уравнения:
\[R \cdot l = 48,\]
\(\pi \cdot r \cdot l = S".\)

Для нахождения высоты усеченного конуса нужно запомнить следующее свойство: отношение высот усеченного конуса к высоте исходного конуса равно отношению радиусов оснований конусов:
\[\frac{h"}{h} = \frac{r}{R}.\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих трех уравнений, для нахождения высоты усеченного конуса.

Решение:
1) Из уравнения \(R \cdot l = 48\), мы можем найти значение \(l\):
\[l = \frac{48}{R}.\]
2) Подставим это значение \(l\) во второе уравнение:
\(\pi \cdot r \cdot l = S".\)
Тогда получаем:
\(\pi \cdot r \cdot \frac{48}{R} = S".\)
3) Теперь можно получить отношение \(\frac{h"}{h}\) по формуле:
\(\frac{h"}{h} = \frac{r}{R}.\)
4) Зная это отношение, мы можем выразить высоту усеченного конуса, подставив известные значения:
\(h" = \frac{r}{R} \cdot h.\)

Таким образом, чтобы найти высоту усеченного конуса, мы должны использовать значения высоты исходного конуса \(h\), радиуса основания \(R\), и площади боковой поверхности усеченного конуса \(S"\). Затем, последовательно выполняем шаги: находим значение \(l\) (образующей исходного конуса), затем находим радиус основания усеченного конуса \(r\), и наконец, находим высоту усеченного конуса \(h"\) по формуле \(h" = \frac{r}{R} \cdot h\).