Что такое радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием длиной 8 см и высотой, опущенной

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, является расстоянием от центра окружности до одной из сторон треугольника. Для решения этой задачи, давайте разберемся с основными свойствами равнобедренных треугольников.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу, а третья сторона - основание, может быть любой длины. В данной задаче, у нас есть равнобедренный треугольник, у которого основание равно 8 см.

Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, делит его на два прямоугольных треугольника. Когда проводим высоту, она проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию, а также делит основание пополам.

Для нашего треугольника, мы можем обозначить высоту через $h$. Так как высота является биссектрисой основания в равнобедренном треугольнике, она делит основание пополам и создает два прямоугольных треугольника. Поэтому, длина каждой половины основания равна $\frac{8}{2}=4$ см.

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты:

$${\text{Гипотенуза}}^2={\text{Катет}}^2+{\text{Катет}}^2$$

Заменяя значения:

$$h^2=4^2+8^2$$

$$h^2=16+64$$

$$h^2=80$$

Теперь, чтобы найти решение, найдем радиус окружности, используя формулу для площади треугольника. Для равнобедренного треугольника с высотой $h$ и основанием $a$, площадь $A$ может быть вычислена следующим образом:

$$A=\frac{1}{2}ah$$

Подставляя значения:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{80}$$

$$A=4\cdot \sqrt{80}$$

Площадь треугольника также может быть выражена через радиус $r$ окружности, вписанной в этот треугольник, используя формулу:

$$A=r\cdot \text{Полупериметр}$$

Полупериметр треугольника равен сумме всех сторон, деленной на 2. В нашем случае, у нас есть две равные стороны длиной 8 см и одна сторона, которая является основанием, также равна 8 см. Таким образом, полупериметр будет равен:

$$\text{Полупериметр}=\frac{8+8+8}{2}=12$$

Подставляя значения в формулу:

$$4\cdot \sqrt{80}=r\cdot 12$$

Чтобы найти радиус окружности $r$, мы делим обе стороны на 12:

$$r=\frac{4\cdot \sqrt{80}}{12}$$

$$r=\frac{2\cdot \sqrt{80}}{6}$$

$$r=\frac{\sqrt{16\cdot 5}}{6}$$

$$r=\frac{4\cdot \sqrt{5}}{6}$$

$$r=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{5}$$

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, равен $\frac{2}{3}\cdot \sqrt{5}$ см.