Что такое радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием длиной 8 см и высотой, опущенной

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, является расстоянием от центра окружности до одной из сторон треугольника. Для решения этой задачи, давайте разберемся с основными свойствами равнобедренных треугольников.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны друг другу, а третья сторона - основание, может быть любой длины. В данной задаче, у нас есть равнобедренный треугольник, у которого основание равно 8 см.

Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, делит его на два прямоугольных треугольника. Когда проводим высоту, она проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию, а также делит основание пополам.

Для нашего треугольника, мы можем обозначить высоту через \(h\). Так как высота является биссектрисой основания в равнобедренном треугольнике, она делит основание пополам и создает два прямоугольных треугольника. Поэтому, длина каждой половины основания равна \(\frac{8}{2} = 4\) см.

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины высоты:

\[\text{Гипотенуза}^2 = \text{Катет}^2 + \text{Катет}^2\]

Заменяя значения:

\[h^2 = 4^2 + 8^2\]

\[h^2 = 16 + 64\]

\[h^2 = 80\]

Теперь, чтобы найти решение, найдем радиус окружности, используя формулу для площади треугольника. Для равнобедренного треугольника с высотой \(h\) и основанием \(a\), площадь \(A\) может быть вычислена следующим образом:

\[A = \frac{1}{2} a h\]

Подставляя значения:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{80}\]

\[A = 4 \cdot \sqrt{80}\]

Площадь треугольника также может быть выражена через радиус \(r\) окружности, вписанной в этот треугольник, используя формулу:

\[A = r \cdot \text{Полупериметр}\]

Полупериметр треугольника равен сумме всех сторон, деленной на 2. В нашем случае, у нас есть две равные стороны длиной 8 см и одна сторона, которая является основанием, также равна 8 см. Таким образом, полупериметр будет равен:

\[\text{Полупериметр} = \frac{8 + 8 + 8}{2} = 12\]

Подставляя значения в формулу:

\[4 \cdot \sqrt{80} = r \cdot 12\]

Чтобы найти радиус окружности \(r\), мы делим обе стороны на 12:

\[r = \frac{4 \cdot \sqrt{80}}{12}\]

\[r = \frac{2 \cdot \sqrt{80}}{6}\]

\[r = \frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{6}\]

\[r = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{6}\]

\[r = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{5}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник, равен \(\frac{2}{3} \cdot \sqrt{5}\) см.