Найдите высоту, на которой сила притяжения к телу будет в 7,8 раза слабее, чем на поверхности Земли. Предположим радиус

Чтобы найти высоту, на которой сила притяжения будет в 7,8 раза слабее, чем на поверхности Земли, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Давайте обозначим:
- \(F_1\) - сила притяжения на поверхности Земли,
- \(F_2\) - сила притяжения на высоте \(h\),
- \(R\) - радиус Земли.

Так как мы знаем, что сила притяжения на высоте \(h\) будет в 7,8 раза слабее, чем на поверхности Земли, мы можем записать соотношение:

\(\frac{F_2}{F_1} = \frac{1}{7,8}\)

Согласно закону всемирного тяготения:

\(\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{m \cdot M}{(R+h)^2}}{\frac{m \cdot M}{R^2}}\),

где \(m\) - масса тела, \(M\) - масса Земли.

Упростив данное выражение, получим:

\(\frac{F_2}{F_1} = \frac{R^2}{(R+h)^2}\)

Подставим вместо \(\frac{F_2}{F_1}\) значение \(\frac{1}{7,8}\):

\(\frac{1}{7,8} = \frac{R^2}{(R+h)^2}\)

Умножим обе части уравнения на \((R+h)^2\):

\((R+h)^2 \cdot \frac{1}{7,8} = R^2\)

Далее раскроем скобки:

\(\frac{(R+h)^2}{7,8} = R^2\)

Умножим обе части уравнения на 7,8:

\((R+h)^2 = 7,8 \cdot R^2\)

Возведем в квадрат обе части уравнения:

\(R^2 + 2Rh + h^2 = 7,8 \cdot R^2\)

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\(h^2 + 2Rh - 6,8 \cdot R^2 = 0\)

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно \(h\). Чтобы решить его, воспользуемся квадратным корнем:

\[h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6,8R^2)}}{2 \cdot 1}\]

Упростим выражение под корнем:

\[h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 27,2R^2}}{2}\]

\[h = \frac{-2R \pm \sqrt{31,2R^2}}{2}\]

\[h = \frac{-2R \pm \sqrt{31,2} \cdot R}{2}\]

\[h = R \cdot \left(\frac{-2 \pm \sqrt{31,2}}{2}\right)\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(h\), которые мы можем получить, воспользовавшись положительным и отрицательным знаками перед квадратным корнем.

\[h_1 = R \cdot \left(\frac{-2 + \sqrt{31,2}}{2}\right)\]
или
\[h_2 = R \cdot \left(\frac{-2 - \sqrt{31,2}}{2}\right)\]

Таким образом, ответ будет состоять из двух возможных значений высоты \(h_1\) и \(h_2\). Подставив \(R = 6380\) (радиус Земли), мы можем рассчитать численные значения высот:

\[h_1 \approx 1022,69\]
и
\[h_2 \approx -7642,69\]

Так как высота не может быть отрицательной, мы отбрасываем значение \(h_2\).

Итак, высота \(h\) будет примерно \(1022,69\) километра.