Найдите все значения x, которые являются корнями уравнения 9^(x^2-x-5)+6^(x^2-x-4)-180*4^(x^2-x+7)=0 и принадлежат

Давайте разберемся с этим уравнением. Вам нужно найти все значения \(x\), которые являются корнями данного уравнения и принадлежат отрезку \([- \sqrt{5}, \sqrt{3.5}]\).

Для начала, попробуем упростить уравнение. Мы видим разные степени чисел и у нас есть несколько основных свойств, которые помогут нам в упрощении.

Давайте разложим все основания степеней по основанию 3 и основанию 6, чтобы у нас были одинаковые основания:

\[9^{(x^2-x-5)} + 6^{(x^2-x-4)} - 180 \cdot 4^{(x^2-x+7)} = 0\]

\[3^{2(x^2-x-5)} + 2^{2(x^2-x-4)} - 180 \cdot (2^2)^{(x^2-x+7)} = 0\]

Теперь мы имеем одинаковые основания для всех степеней. Теперь давайте заменим основания на общую переменную, например, \(a\):

\[3^{2(x^2-x-5)} + 2^{2(x^2-x-4)} - 180 \cdot (2^2)^{(x^2-x+7)} = 0\]

\[a^{(x^2-x-5)} + a^{(x^2-x-4)} - 180 \cdot a^{(x^2-x+7)} = 0\]

Теперь мы можем объединить одинаковые степени переменной \(a\):

\[a^{(x^2-x-5)} + a^{(x^2-x-5)} - 180 \cdot a^{(x^2-x-5)} = 0\]

\[2a^{(x^2-x-5)} - 180 \cdot a^{(x^2-x-5)} = 0\]

Теперь мы можем упростить уравнение, вынеся общий множитель \(2a^{(x^2-x-5)}\):

\[2a^{(x^2-x-5)}(1-90) = 0\]

\[2a^{(x^2-x-5)}(-89) = 0\]

Теперь мы получили уравнение, в котором мы можем установить, что \(2a^{(x^2-x-5)} = 0\) или \(-89 = 0\). Ясно, что последнее уравнение не имеет решений, так как \(-89\) не равно \(0\).

Таким образом, у нас остается только одно уравнение:

\[2a^{(x^2-x-5)} = 0\]

Теперь мы знаем, что умножение на \(0\) всегда дает \(0\). Поэтому, чтобы уравнение было равно нулю, \(2a^{(x^2-x-5)}\) также должно равняться нулю. Примем два случая:

1) \(2a^{(x^2-x-5)} = 0\), тогда \(a = 0\) или \(x^2-x-5 = 0\).

2) \(2a^{(x^2-x-5)} = 0\), тогда \(a \neq 0\) и \(x^2-x-5 = 0\).

Давайте решим каждый случай.

1) Если \(a = 0\), то мы видим, что \(a = 3^{2(x^2-x-5)} = 0\). Но \(3^n\) не равно нулю для любого \(n\), поэтому у этого случая нет решений.

2) Если \(a \neq 0\) и \(x^2-x-5 = 0\). Решая это квадратное уравнение, мы найдем значения \(x\):

\[x^2-x-5 = 0\]

\[(x-2)(x+1) = 0\]

Таким образом, \(x = 2\) или \(x = -1\).

Итак, мы получили два значения \(x\), которые являются корнями уравнения и принадлежат отрезку \([- \sqrt{5}, \sqrt{3.5}]\): \(x = 2\) и \(x = -1\).

Let me know if I can help you with anything else.