Найдите возможные значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (то есть прямая

Для того чтобы прямая и окружность имели одну общую точку (то есть прямая касалась окружности), необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности до прямой равнялось радиусу окружности.

Пусть уравнение прямой задано в общем виде как \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент прямой, а \(b\) - свободный член. Заметим, что расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до прямой с уравнением \(y = mx + b\) определяется формулой:

\[d = \frac{{\left| mx_0 - y_0 + b \right|}}{{\sqrt{1 + m^2}}}\]

Также, пусть у нас есть окружность с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\). Уравнение окружности в общем виде будет иметь следующий вид:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

Теперь, чтобы найти возможные значения коэффициента \(c\) для которых прямая и окружность имеют одну общую точку, мы должны приравнять расстояние от центра окружности до прямой радиусу окружности:

\[\frac{{\left| mh - k + b \right|}}{{\sqrt{1 + m^2}}} = r\]

Разделив уравнение на модуль и возведя обе части уравнения в квадрат, мы получим:

\[\frac{{(mh - k + b)^2}}{{1 + m^2}} = r^2\]

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим квадратное уравнение:

\[m^2h^2 - 2mkh + (k^2 - r^2 + b^2) = 0\]

Обратите внимание, что это квадратное уравнение относительно переменной \(m\). Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы найти возможные значения для \(c\).

Дискриминант квадратного уравнения определяется формулой \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае, коэффициент \(c\) соответствует переменной \(m\), поэтому мы ищем значения \(c\), при которых дискриминант равен нулю:

\[D = (-2mk)^2 - 4h^2(k^2 - r^2 + b^2) = 0\]

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень, что означает, что прямая и окружность касаются в одной точке. Решив это уравнение относительно \(c\), мы найдем возможные значения коэффициента \(c\), при которых это выполняется.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!