Найдите вероятности следующих событий при случайном выборе двух чисел из 16 первых натуральных чисел: а) оба числа

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить вероятность каждого из двух событий при случайном выборе двух чисел из 16 первых натуральных чисел.

а) Чтобы найти вероятность того, что оба числа не делятся на 3, нам нужно определить количество возможных комбинаций чисел, которые не делятся на 3, и разделить его на общее количество возможных комбинаций.

Из 16 первых натуральных чисел, только 10 чисел (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14) не делятся на 3. Таким образом, количество возможных комбинаций чисел, которые не делятся на 3, равно количеству сочетаний из 10 элементов по 2:

\[\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45.\]

Общее количество возможных комбинаций чисел из 16 первых натуральных чисел будет равно количеству сочетаний из 16 элементов по 2:

\[\binom{16}{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120.\]

Теперь, чтобы найти вероятность события а), мы делим количество возможных комбинаций чисел, которые не делятся на 3, на общее количество возможных комбинаций:

\[P(a) = \frac{45}{120} = \frac{3}{8}.\]

Таким образом, вероятность того, что оба числа не делятся на 3, составляет \(\frac{3}{8}\).

б) Чтобы найти вероятность того, что разница между выбранными числами равняется 3, нам нужно определить количество возможных комбинаций чисел, разница которых равна 3, и разделить его на общее количество возможных комбинаций.

Из 16 первых натуральных чисел, существует несколько пар чисел с разницей 3: (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8), (6, 9), (7, 10), (8, 11), (9, 12), (10, 13), (11, 14), (12, 15). Всего у нас есть 12 таких пар.

Таким образом, количество возможных комбинаций чисел с разницей 3 равно 12.

Общее количество возможных комбинаций чисел из 16 первых натуральных чисел остается равным 120.

Теперь, чтобы найти вероятность события б), мы делим количество возможных комбинаций чисел с разницей 3 на общее количество возможных комбинаций:

\[P(b) = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}.\]

Таким образом, вероятность того, что разница между выбранными числами равняется 3, составляет \(\frac{1}{10}\).

Мы получили ответ с пошаговым решением и обоснованием каждого шага. Это поможет школьнику понять, как и почему мы пришли к этим результатам и какие методы мы использовали в решении задачи на вероятность.