Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать треугольнику

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться геометрическим подходом.

Пусть дан прямоугольник со сторонами a и b, а также его диагонали пересекаются в точке O, как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& & \uparrow & \\
& & \text{------} & \\
& & | & \\
& & | & \\
O & \text{---} & \text{------} & \text{---} B \\
& & | & \\
& & | & \\
& & \downarrow & \\
& & C & \\
\end{array}
\]

Точка O является точкой пересечения диагоналей прямоугольника, а точки A, B и C - его вершины.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать треугольнику с вершинами в двух соседних вершинах прямоугольника и точке O, нам нужно разделить площадь этого треугольника на площадь всего прямоугольника.

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы площади треугольника, которая равна половине произведения его основания и высоты. В данном случае, основание треугольника - это сторона прямоугольника, а высота - это расстояние от точки О до основания.

Расстояние от точки О до основания треугольника можно вычислить с помощью подобия треугольников. Мы заметим, что треугольник OBC подобен треугольнику OAB. Таким образом, отношение длины AB к длине BC равно отношению длины AO к длине OC.

Так как прямоугольник стоит на координатной оси X и Y, точки A и C имеют координаты (0,0) и (a,b) соответственно. Точка O имеет координаты \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\).

Коэффициент пропорциональности между треугольниками можно выразить следующим образом:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}} = \frac{a}{b}
\]

Таким образом, высота треугольника равна \(h = \frac{a}{b} \cdot b = a\).

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади треугольника. Его площадь равна:

\[
S_\text{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}
\]

Площадь всего прямоугольника равна:

\[
S_\text{прямоугольника} = a \cdot b
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать треугольнику с вершинами в двух соседних вершинах прямоугольника и точке O, выражается следующим образом:

\[
P = \frac{S_\text{треугольника}}{S_\text{прямоугольника}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a \cdot b} = \frac{a}{2b}
\]

Здесь мы использовали формулы площадей треугольника и прямоугольника. Чтобы упростить ответ, мы убрали общий множитель \(\frac{a}{2}\).

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать треугольнику с вершинами в двух соседних вершинах прямоугольника и точке O, равна \(\frac{a}{2b}\).