Найдите верные утверждения, относящиеся к векторам a, b и c, даны следующие варианты ответов: 1) Векторы образуют

Для того, чтобы найти верные утверждения, относящиеся к векторам a, b и c, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и проверим его.

1) Векторы образуют правую тройку.
Для того чтобы определить, образуют ли векторы правую тройку, нужно проверить их порядок. Правая тройка векторов определяется так, что если мы поместим указатель правой руки на первый вектор и направим пальцы в сторону второго вектора, то большой палец будет указывать в сторону третьего вектора. Если это выполнено для данных векторов, то утверждение 1 будет верным.

2) Среди этих векторов есть коллинеарные.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Чтобы проверить, являются ли векторы a, b и c коллинеарными, нужно сравнить их направления. Если все три вектора направлены в одном и том же направлении или противоположном, то утверждение 2 будет верным.

3) Векторы компланарны.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны друг другу. Чтобы проверить, являются ли векторы a, b и c компланарными, нужно проверить их линейную независимость. Если какой-либо из векторов можно выразить как линейную комбинацию остальных двух, то утверждение 3 будет верным.

4) Векторы образуют левую тройку.
Аналогично пункту 1, для того чтобы определить, образуют ли векторы левую тройку, нужно проверить их порядок. Левая тройка векторов определяется так, что если мы поместим указатель левой руки на первый вектор и направим пальцы в сторону второго вектора, то большой палец будет указывать в сторону третьего вектора. Если это выполнено для данных векторов, то утверждение 4 будет верным.

5) Векторы образуют базис в пространстве.
Базис в пространстве состоит из набора векторов, которые являются линейно независимыми и позволяют представить любой вектор данного пространства как линейную комбинацию этих базисных векторов. Для проверки данного утверждения нам необходимо проверить, что векторы a, b и c являются линейно независимыми и способны породить любой вектор пространства. Если это выполнено, то утверждение 5 будет верным.

Теперь приступим к проверке каждого утверждения для данных векторов.

1) Для того чтобы проверить, образуют ли векторы правую тройку, нужно проверить их порядок. Допустим, что векторы a, b и c имеют координаты (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) и (c1, c2, c3) соответственно. Проверим, выполняется ли условие для правой тройки:
\[
(a \times b) \cdot c > 0
\]
где \(\times\) - векторное произведение, \(\cdot\) - скалярное произведение.
Если это условие выполняется, то векторы образуют правую тройку. Если нет, то данное утверждение неверно.

2) Чтобы проверить, есть ли коллинеарные векторы среди a, b и c, нам нужно сравнить их направления. Векторы коллинеарны, если можно записать один из них в виде скалярного произведения другого вектора и некоторого числа. В данном случае, если найдется такое число k, что a = kb или a = kc, или b = ka, или b = kc, или c = ka, или c = kb, то утверждение 2 будет верным. Если такого k не существует, то данное утверждение неверно.

3) Чтобы проверить, компланарны ли векторы a, b и c, нужно определить их линейную независимость. Составим систему линейных уравнений и проверим, имеет ли система ненулевые решения. Если система имеет тривиальное решение (т.е. все коэффициенты равны нулю), то векторы являются линейно независимыми и компланарными. Если же система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы и следовательно не являются компланарными.

4) Аналогично пункту 1, для проверки, образуют ли векторы левую тройку, нужно проверить их порядок. Допустим, что векторы a, b и c имеют координаты (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) и (c1, c2, c3) соответственно. Проверим, выполняется ли условие для левой тройки:
\[
(a \times b) \cdot c < 0
\]
Если это условие выполняется, то векторы образуют левую тройку. Если нет, то данное утверждение неверно.

5) Чтобы проверить, образуют ли векторы базис в пространстве, нужно определить их линейную независимость. Составим систему линейных уравнений и проверим, имеет ли система ненулевые решения. Если система имеет только тривиальное решение (т.е. все коэффициенты равны нулю), то векторы являются линейно независимыми и образуют базис в пространстве. Если же система имеет ненулевое решение, то векторы линейно зависимы и не могут образовывать базис в пространстве.

Таким образом, давайте применим каждую проверку к заданным векторам a, b и c и определим верные утверждения.