Какое расстояние нужно найти от точки С до линии AB на клеточном листочке, если сторона клетки равна

Пусть сторона клетки на клеточном листочке равна \(a\) единицам длины. Нам нужно найти расстояние от точки \(C\) до линии \(AB\).

Для решения этой задачи мы воспользуемся понятием перпендикуляра. Перпендикуляр — это прямая линия, которая проходит через точку под прямым углом к другой прямой.

Для начала построим перпендикуляр к линии \(AB\) из точки \(C\). Перпендикуляр должен пересекать линию \(AB\) в точке \(D\).

Обратите внимание, что прямоугольник с вершинами \(A, D, B\) и \(C\) является прямоугольным треугольником.

Теперь, зная, что треугольник \(ACB\) является прямоугольным, мы можем использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами длиной \(b\) и \(c\) и гипотенузой длиной \(a\), выполняется следующее равенство: \(a^2 = b^2 + c^2\).

В нашем случае катет \(AC\) имеет длину \(a\) (сторона клетки), катет \(BC\) равен расстоянию от точки \(C\) до линии \(AB\) (то, что нам нужно найти), а гипотенуза \(AB\) имеет длину \(AD + BD\).

Теперь давайте рассмотрим длины катетов и гипотенузы треугольника \(ACB\):

Катет \(AC = a\) (длина стороны клетки).
Катет \(BC\) — расстояние от точки \(C\) до линии \(AB\) (неизвестное нам значение).
Гипотенуза \(AB\) — это длина отрезка \(AD + BD\).

Теперь мы можем записать уравнение, используя теорему Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Так как \(AC\) равно \(a\), а \(AB\) (гипотенуза) равна \(AD + BD\), мы можем записать:

\[(AD + BD)^2 = a^2 + BC^2\]

Раскроем скобки:

\[AD^2 + 2AD \cdot BD + BD^2 = a^2 + BC^2\]

Таким образом, мы получили уравнение, в котором есть четыре неизвестных: \(AD\), \(BD\), \(BC\) и \(a\). Но у нас также есть информация, что треугольник \(ABC\) прямоугольный. Это нам сильно помогает, так как с помощью этой информации мы можем найти выражение для \(BD\) через \(AD\) и \(a\).

Для этого воспользуемся подобными треугольниками. Очевидно, что треугольник \(ACB\) подобен треугольнику \(ACD\) и треугольнику \(BCD\), так как угол между ними в обоих случаях прямой. Используя свойство подобных треугольников, мы можем записать следующее соотношение между сторонами:

\[\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}\]

В нашем случае \(AD = AC = a\), поэтому мы можем получить:

\[\frac{a}{a} = \frac{BD}{BC} \implies 1 = \frac{BD}{BC} \implies BD = BC\]

Поэтому, получается, что \(BD = BC\).

Теперь мы можем изменить уравнение, используя новое значение \(BD\):

\[AD^2 + 2AD \cdot BD + BD^2 = a^2 + BC^2\]

Заменяем \(BD\) на \(BC\):

\[AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2 = a^2 + BC^2\]

Так как у нас есть равенство \(BD = BC\), то уравнение можно упростить:

\[AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2 = a^2 + BC^2\]

Удаляем \(BC^2\) с обеих сторон уравнения:

\[AD^2 + 2AD \cdot BC = a^2\]

Теперь можем выразить \(BC\) из этого уравнения:

\[2AD \cdot BC = a^2 - AD^2\]

Делим обе части уравнения на \(2AD\):

\[BC = \frac{{a^2 - AD^2}}{{2AD}}\]

Теперь мы знаем формулу для расчета расстояния \(BC\) от точки \(C\) до линии \(AB\):

\[BC = \frac{{a^2 - AD^2}}{{2AD}}\]

Таким образом, изучив свойства перпендикуляров и прямоугольных треугольников, а также применив теорему Пифагора и подобные треугольники, мы получили формулу для расчета расстояния \(BC\) от точки \(C\) до линии \(AB\) на клеточном листочке с размером клетки \(a\).