Найдите уравнение касательной к графику функции y= 5 - sin(π/4 - x) в точке с координатой x0=7π-12. Представлены

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с того, что найдем производную функции y = 5 - sin(π/4 - x). Для этого используем правило дифференцирования синуса, которое гласит, что производная sin(u) равна cos(u) умноженному на производную u по переменной x.

Таким образом, чтобы найти производную y" по x, мы рассмотрим функцию внутри синуса, π/4 - x, как нашу переменную u:

u = π/4 - x

Тогда:

\[\frac{du}{dx} = -1\]

А производная sin(u) равна cos(u):

\[\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u\]

Таким образом, производная нашей функции будет равна:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5 - \sin(π/4 - x)) = \frac{d}{d(π/4 - x)}(\sin(π/4 - x)) \cdot \frac{d(π/4 - x)}{dx} = \cos(π/4 - x) \cdot (-1)\]

2. Теперь, чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке (x₀, y₀), нам понадобятся значения x₀ и y₀.

В нашем случае, x₀ = 7π/12, и чтобы найти y₀, мы должны подставить x₀ в исходное уравнение функции:

y₀ = 5 - \sin(π/4 - x₀) = 5 - \sin(π/4 - 7π/12)

3. Мы уже знаем производную функции: \[\frac{dy}{dx} = \cos(π/4 - x) \cdot (-1)\]

Теперь, используя найденные значения x₀, y₀ и производную в точке x₀, можем записать уравнение касательной (slope-intercept form):

y - y₀ = m(x - x₀)

где m - это значение производной в точке x₀.

4. Заменяем значения x₀, y₀ и m в уравнении:

y - y₀ = \cos(π/4 - x₀) \cdot (-1) \cdot (x - x₀)

5. Упрощаем уравнение, используя значение x₀:

y - (5 - \sin(π/4 - 7π/12)) = \cos(π/4 - 7π/12) \cdot (-1) \cdot (x - 7π/12)

Перепишем это уравнение в более удобной форме, убрав отрицательный знак и приведя косинус и синус суммы к функциям одной переменной (используя тригонометрические формулы):

y = \sin(7π/12 - π/4) + 5 + \cos(7π/12 - π/4) \cdot (x - 7π/12)

6. Теперь у нас есть уравнение касательной к графику функции y = 5 - sin(π/4 - x) в точке (7π/12, y₀), где y₀ = 5 - \sin(π/4 - 7π/12).

Надеюсь, что это решение поможет вам понять, как найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.