Найдите сумму значений x, которые являются решениями системы уравнений: x^2-25/y+1=0 1-y^2/x-5=0

Конечно! Давайте начнем с решения первого уравнения системы:

\[x^{2} - \frac{25}{y+1} = 0\]

Для начала, нам нужно избавиться от дроби. Умножим обе стороны уравнения на \(y+1\), чтобы убрать знаменатель:

\[x^{2} (y+1) - 25 = 0\]

Теперь произведем раскрытие скобок:

\[xy^{2} + x^{2} - 25 = 0\]

Теперь перейдем ко второму уравнению системы:

\[1 - y^{2} = \frac{x}{5}\]

Мы знаем, что можно представить \(y^{2}\) как \((-y)^{2}\), поэтому перепишем уравнение:

\[1 - (-y)^{2} = \frac{x}{5}\]

Теперь перенесем \(\frac{x}{5}\) налево:

\[(-y)^{2} + \frac{x}{5} = 1\]

Чтобы упростить запись, заменим \((-y)\) на \(a\). Получим:

\[a^{2} + \frac{x}{5} = 1\]

Теперь объединим два уравнения системы:

\[\begin{cases} xy^{2} + x^{2} - 25 = 0 \\ a^{2} + \frac{x}{5} = 1 \end{cases}\]

Мы можем использовать метод замены переменных, чтобы решить систему. Заменим \(xy^{2}\) на \(z\), тогда наши уравнения примут вид:

\[\begin{cases} z + x^{2} - 25 = 0 \\ a^{2} + \frac{x}{5} = 1 \end{cases}\]

Теперь решим второе уравнение относительно \(x\):

\[\frac{x}{5} = 1 - a^{2}\]

\[x = 5 - 5a^{2}\]

Подставим полученное значение \(x\) в первое уравнение:

\[z + (5 - 5a^{2})^{2} - 25 = 0\]

Раскроем квадрат:

\[z + 25 - 50a^{2} + 25a^{4} - 25 = 0\]

\[z + 25a^{4} - 50a^{2} = 0\]

Теперь мы получили уравнение, которое содержит только переменные \(z\) и \(a^{2}\). Пусть \(a^{2} = t\):

\[z + 25t^{2} - 50t = 0\]

Давайте решим это уравнение относительно \(t\):

\[25t^{2} - 50t + z = 0\]

Мы знаем, что это квадратное уравнение. Примем его дискриминант равным \(D\):

\[D = (-50)^{2} - 4\cdot 25\cdot z\]

Теперь, чтобы найти сумму всех значений \(x\), которые являются решениями системы уравнений, нам нужно найти сумму всех значений переменной \(x\), полученных выше. Затем разбить эту сумму на отдельные значения \(x\), чтобы подставить их в систему и проверить, являются ли они решениями.

В результате, мы получим сумму всех \(x\), которые являются решениями системы.