Найдите сумму всех решений Системы уравнений 3х-4у=6 и х^2-8у^2=-2

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки. Давайте начнем с первого уравнения:

\(3x - 4y = 6\)

Мы можем выразить \(x\) из первого уравнения:

\(3x = 6 + 4y\)

\(x = \frac{{6 + 4y}}{3}\)

Далее, мы можем подставить это значение \(x\) во второе уравнение:

\(\left(\frac{{6 + 4y}}{3}\right)^2 - 8y^2 = -2\)

Раскроем квадрат в числителе:

\(\frac{{(6 + 4y)^2}}{9} - 8y^2 = -2\)

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

\((6 + 4y)^2 - 72y^2 = -18\)

Разложим квадрат:

\(36 + 48y + 16y^2 - 72y^2 = -18\)

Сгруппируем подобные члены:

\(-56y^2 + 48y + 18 = 0\)

Теперь у нас есть уравнение, квадратное относительно \(y\). Мы можем его решить, используя квадратное уравнение:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где \(a = -56\), \(b = 48\), и \(c = 18\).

Подставим значения и найдем значения \(y\):

\[y = \frac{{-48 \pm \sqrt{{48^2 - 4(-56)(18)}}}}{{2(-56)}}\]

Упростим выражение:

\[y = \frac{{-48 \pm \sqrt{{2304 + 4032}}}}{{-112}}\]

\[y = \frac{{-48 \pm \sqrt{{6336}}}}{{-112}}\]

\[y = \frac{{-48 \pm 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\]

Теперь найдем соответствующие значения \(x\) для каждого значения \(y\). Используем первое уравнение:

\[x = \frac{{6 + 4y}}{3}\]

Подставим значения \(y\) и вычислим \(x\):

Для \(y = \frac{{-48 - 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\):
\[x = \frac{{6 + 4 \cdot \left(\frac{{-48 - 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\right)}}{3}\]

Для \(y = \frac{{-48 + 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\):
\[x = \frac{{6 + 4 \cdot \left(\frac{{-48 + 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\right)}}{3}\]

Таким образом, мы нашли две пары решений для данной системы уравнений.

Мы можем найти сумму всех решений, добавив соответствующие значения \(x\) и \(y\):

\((x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)\)

Добавляем значения \(x\) и \(y\):

\[\left(\frac{{6 + 4 \cdot \left(\frac{{-48 - 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\right)}}{3} + \frac{{6 + 4 \cdot \left(\frac{{-48 + 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\right)}}{3}\right) + \left(\frac{{-48 - 12\sqrt{{14}}}}{{-112}} + \frac{{-48 + 12\sqrt{{14}}}}{{-112}}\right)\]

Упрощаем выражение:

\(\frac{{1812 + 12\sqrt{{14}}}}{{336}} + \frac{{-96}}{{-112}}\)