Найдите сумму первых семи членов арифметической прогрессии, если их третий член равен -5 а шестой

член равен 8.

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа \(d\) к предыдущему члену.

Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(a_n\) выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Учитывая, что третий член прогрессии равен -5, мы можем записать:

\[a_3 = a_1 + 2d = -5\]

Известно, что шестой член прогрессии равен 8:

\[a_6 = a_1 + 5d = 8\]

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)). Давайте решим эту систему уравнений.

Мы можем начать с уравнения \(a_3 = -5\):

\[a_1 + 2d = -5\]

Из уравнения \(a_6 = 8\) мы можем выразить \(a_1\) через \(d\):

\[a_1 = 8 - 5d\]

Теперь подставим это выражение для \(a_1\) в первое уравнение:

\[8 - 5d + 2d = -5\]

Соберем переменные вместе:

\[-3d = -13\]

Теперь разделим обе части уравнения на -3:

\[d = \frac{{-13}}{{-3}} = \frac{{13}}{{3}}\]

Теперь найдем \(a_1\) с использованием этого значения \(d\):

\[a_1 = 8 - 5 \cdot \frac{{13}}{{3}} = 8 - \frac{{65}}{{3}} = -\frac{{41}}{{3}}\]

Теперь, когда мы нашли значения \(a_1\) и \(d\), мы можем найти сумму первых семи членов прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{{n}}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения:

\[S_7 = \frac{{7}}{2}(-\frac{{41}}{{3}} + a_7)\]

Мы можем найти \(a_7\) с использованием формулы для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_7 = a_1 + 6d = -\frac{{41}}{{3}} + 6 \cdot \frac{{13}}{{3}} = \frac{{23}}{{3}}\]

Теперь подставим это значение в формулу для суммы:

\[S_7 = \frac{{7}}{2}(-\frac{{41}}{{3}} + \frac{{23}}{{3}})\]

Выполним вычисления:

\[S_7 = \frac{{7}}{2}(-\frac{{18}}{{3}}) = \frac{{7}}{2}(-6) = -21\]

Таким образом, сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна -21.