Найдите скалярное произведение векторов c→ и d→, если векторы m→ и v→ взаимно перпендикулярны и имеют одинаковую длину

Для нахождения скалярного произведения векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) нам необходимо умножить соответствующие компоненты этих векторов и сложить полученные произведения.

Из условия задачи дано, что векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{v}\) взаимно перпендикулярны и имеют длину 3 см.

Векторы \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) заданы следующим образом:

\[
\mathbf{c} = 3 \cdot \mathbf{m} - 4 \cdot \mathbf{v}
\]

\[
\mathbf{d} = 2 \cdot \mathbf{m} + 3 \cdot \mathbf{v}
\]

Для начала нам нужно найти значения векторов \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{v}\). Так как векторы \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{v}\) взаимно перпендикулярны и имеют длину 3 см, мы можем представить их следующим образом:

\(\mathbf{m} = (3, 0)\)

\(\mathbf{v} = (0, 3)\)

Теперь мы можем найти значения векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\), подставив значения \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{v}\) в соответствующие формулы:

\(\mathbf{c} = 3 \cdot \mathbf{m} - 4 \cdot \mathbf{v} = 3 \cdot (3, 0) - 4 \cdot (0, 3) = (9, 0) - (0, 12) = (9, -12)\)

\(\mathbf{d} = 2 \cdot \mathbf{m} + 3 \cdot \mathbf{v} = 2 \cdot (3, 0) + 3 \cdot (0, 3) = (6, 0) + (0, 9) = (6, 9)\)

Теперь мы можем найти значение скалярного произведения векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) по формуле:

\(\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = (9 \cdot 6) + (-12 \cdot 9) = 54 - 108 = -54\)

Таким образом, значение скалярного произведения векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) равно \(-54\).