Найдите решение следующего уравнения с помощью соответствующей замены: 1) x⁴– 5x + 4 = 0; 3) 9x⁴ + 23x² – 12 = 0; 5) 4x⁴ – 5x² +1= 0; 7) 4x⁴– 9x² +2=0; 2) x⁴– 8x² – 9 = 0; 4) 16x⁴- 409x² +225 = 0; 6) 4x⁴– 17x² + 4 = 0; 8) 6х⁴ - 5x² +1=0.
Delfin
Решение уравнений с помощью соответствующей замены – это стандартный подход к решению уравнений. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.
1) Дано уравнение \(x^4 - 5x + 4 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(y^2 - 5\sqrt{y} + 4 = 0\).
Это стало уравнение относительно переменной \(y\). Решим это уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
1) \(y = x^2 = 1\) ⇒ \(x^2 = 1\) ⇒ \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
Таким образом, решения уравнения \(x^4 - 5x + 4 = 0\) равны \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
2) Дано уравнение \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(y^2 - 8y - 9 = 0\).
Это уравнение можно решить факторизацией:
\((y - 9)(y + 1) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = 9\) и \(y_2 = -1\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
2) \(y = x^2 = 9\) ⇒ \(x^2 = 9\) ⇒ \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).
\(y = x^2 = -1\) ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
Таким образом, решения уравнения \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\) равны \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).
3) Дано уравнение \(9x^4 + 23x^2 - 12 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(9y^2 + 23y - 12 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизация в данном случае сложная задача, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-12) = 529 + 432 = 961\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 31}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 31}{18} = \frac{-54}{18} = -3\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
3) \(y = x^2 = \frac{4}{9}\) ⇒ \(x^2 = \frac{4}{9}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).
\(y = x^2 = -3\) ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
Таким образом, решения уравнения \(9x^4 + 23x^2 - 12 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).
4) Дано уравнение \(16x^4 - 409x^2 + 225 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(16y^2 - 409y + 225 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизацией здесь сложно заниматься, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-409)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 225 = 167281 - 14400 = 152881\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{409 + 391}{32} = \frac{800}{32} = 25\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{409 - 391}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
4) \(y = x^2 = 25\) ⇒ \(x^2 = 25\) ⇒ \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 5\).
\(y = x^2 = \frac{9}{16}\) ⇒ \(x^2 = \frac{9}{16}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{3}{4}\) и \(x_4 = \frac{3}{4}\).
Таким образом, решения уравнения \(16x^4 - 409x^2 + 225 = 0\) равны \(x_1 = -5\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -\frac{3}{4}\) и \(x_4 = \frac{3}{4}\).
5) Дано уравнение \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 5y + 1 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((2y - 1)(2y - 1) = 0\).
Таким образом, \(y = x^2 = \frac{1}{2}\). Решив это уравнение, получим два корня:
\(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
6) Дано уравнение \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 17y + 4 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((4y - 1)(y - 4) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = \frac{1}{4}\) и \(y_2 = 4\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
6) \(y = x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).
\(y = x^2 = 4\) ⇒ \(x^2 = 4\) ⇒ \(x_3 = -2\) и \(x_4 = 2\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{1}{2}\), \(x_3 = -2\) и \(x_4 = 2\).
7) Дано уравнение \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 9y + 2 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Оно не разлагается на линейные множители, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
7) \(y = x^2 = 2\) ⇒ \(x^2 = 2\) ⇒ \(x_1 = -\sqrt{2}\) и \(x_2 = \sqrt{2}\).
\(y = x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{1}{2}\) и \(x_4 = \frac{1}{2}\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) равны \(x_1 = -\sqrt{2}\), \(x_2 = \sqrt{2}\), \(x_3 = -\frac{1}{2}\) и \(x_4 = \frac{1}{2}\).
8) Дано уравнение \(6x^4 - 5x^2 + 1 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(6y^2 - 5y + 1 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((2y - 1)(3y - 1) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = \frac{1}{2}\) и \(y_2 = \frac{1}{3}\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
8) \(y = x^2 = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(y = x^2 = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Таким образом, решения уравнения \(6x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x_3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Теперь мы нашли решения всех уравнений. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите!
1) Дано уравнение \(x^4 - 5x + 4 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(y^2 - 5\sqrt{y} + 4 = 0\).
Это стало уравнение относительно переменной \(y\). Решим это уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
1) \(y = x^2 = 1\) ⇒ \(x^2 = 1\) ⇒ \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
Таким образом, решения уравнения \(x^4 - 5x + 4 = 0\) равны \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
2) Дано уравнение \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(y^2 - 8y - 9 = 0\).
Это уравнение можно решить факторизацией:
\((y - 9)(y + 1) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = 9\) и \(y_2 = -1\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
2) \(y = x^2 = 9\) ⇒ \(x^2 = 9\) ⇒ \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).
\(y = x^2 = -1\) ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
Таким образом, решения уравнения \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\) равны \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\).
3) Дано уравнение \(9x^4 + 23x^2 - 12 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(9y^2 + 23y - 12 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизация в данном случае сложная задача, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-12) = 529 + 432 = 961\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 31}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 31}{18} = \frac{-54}{18} = -3\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
3) \(y = x^2 = \frac{4}{9}\) ⇒ \(x^2 = \frac{4}{9}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).
\(y = x^2 = -3\) ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.
Таким образом, решения уравнения \(9x^4 + 23x^2 - 12 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{2}{3}\).
4) Дано уравнение \(16x^4 - 409x^2 + 225 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(16y^2 - 409y + 225 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизацией здесь сложно заниматься, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-409)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 225 = 167281 - 14400 = 152881\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{409 + 391}{32} = \frac{800}{32} = 25\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{409 - 391}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
4) \(y = x^2 = 25\) ⇒ \(x^2 = 25\) ⇒ \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 5\).
\(y = x^2 = \frac{9}{16}\) ⇒ \(x^2 = \frac{9}{16}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{3}{4}\) и \(x_4 = \frac{3}{4}\).
Таким образом, решения уравнения \(16x^4 - 409x^2 + 225 = 0\) равны \(x_1 = -5\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -\frac{3}{4}\) и \(x_4 = \frac{3}{4}\).
5) Дано уравнение \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 5y + 1 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((2y - 1)(2y - 1) = 0\).
Таким образом, \(y = x^2 = \frac{1}{2}\). Решив это уравнение, получим два корня:
\(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
6) Дано уравнение \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 17y + 4 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((4y - 1)(y - 4) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = \frac{1}{4}\) и \(y_2 = 4\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
6) \(y = x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).
\(y = x^2 = 4\) ⇒ \(x^2 = 4\) ⇒ \(x_3 = -2\) и \(x_4 = 2\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{1}{2}\), \(x_3 = -2\) и \(x_4 = 2\).
7) Дано уравнение \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(4y^2 - 9y + 2 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Оно не разлагается на линейные множители, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:
\(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49\).
Так как дискриминант \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2\),
\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
Теперь найдем значения переменной \(x\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
7) \(y = x^2 = 2\) ⇒ \(x^2 = 2\) ⇒ \(x_1 = -\sqrt{2}\) и \(x_2 = \sqrt{2}\).
\(y = x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{4}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{1}{2}\) и \(x_4 = \frac{1}{2}\).
Таким образом, решения уравнения \(4x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) равны \(x_1 = -\sqrt{2}\), \(x_2 = \sqrt{2}\), \(x_3 = -\frac{1}{2}\) и \(x_4 = \frac{1}{2}\).
8) Дано уравнение \(6x^4 - 5x^2 + 1 = 0\). Для решения данного уравнения применим замену \(y = x^2\). Подставим эту замену в данное уравнение:
\(6y^2 - 5y + 1 = 0\).
Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:
\((2y - 1)(3y - 1) = 0\).
Таким образом, \(y_1 = \frac{1}{2}\) и \(y_2 = \frac{1}{3}\). Подставим значения переменной \(y\) обратно в замену:
8) \(y = x^2 = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(y = x^2 = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x^2 = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x_3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Таким образом, решения уравнения \(6x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) равны \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(x_3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x_4 = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Теперь мы нашли решения всех уравнений. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
