Найдите решение следующего уравнения с помощью соответствующей замены: 1) x⁴– 5x + 4 = 0; 3) 9x⁴ + 23x² – 12

Решение уравнений с помощью соответствующей замены – это стандартный подход к решению уравнений. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) Дано уравнение $x^4-5x+4=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$y^2-5\sqrt{y}+4=0$.

Это стало уравнение относительно переменной $y$. Решим это уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом:

$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$.

Так как дискриминант $D>0$, то уравнение имеет два корня:

$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$,

$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$.

Теперь найдем значения переменной $x$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

1) $y=x^2=1$ ⇒ $x^2=1$ ⇒ $x_1=-1$ и $x_2=1$.

Таким образом, решения уравнения $x^4-5x+4=0$ равны $x_1=-1$ и $x_2=1$.

2) Дано уравнение $x^4-8x^2-9=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$y^2-8y-9=0$.

Это уравнение можно решить факторизацией:

$(y-9)(y+1)=0$.

Таким образом, $y_1=9$ и $y_2=-1$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

2) $y=x^2=9$ ⇒ $x^2=9$ ⇒ $x_1=-3$ и $x_2=3$.

$y=x^2=-1$ ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

Таким образом, решения уравнения $x^4-8x^2-9=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=3$.

3) Дано уравнение $9x^4+23x^2-12=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$9y^2+23y-12=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизация в данном случае сложная задача, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:

$D=b^2-4ac={23}^2-4\cdot 9\cdot (-12)=529+432=961$.

Так как дискриминант $D>0$, то уравнение имеет два корня:

$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-23+31}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$,

$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-23-31}{18}=\frac{-54}{18}=-3$.

Теперь найдем значения переменной $x$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

3) $y=x^2=\frac{4}{9}$ ⇒ $x^2=\frac{4}{9}$ ⇒ $x_1=-\frac{2}{3}$ и $x_2=\frac{2}{3}$.

$y=x^2=-3$ ⇒ уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

Таким образом, решения уравнения $9x^4+23x^2-12=0$ равны $x_1=-\frac{2}{3}$ и $x_2=\frac{2}{3}$.

4) Дано уравнение $16x^4-409x^2+225=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$16y^2-409y+225=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Факторизацией здесь сложно заниматься, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:

$D=b^2-4ac=(-409{)}^2-4\cdot 16\cdot 225=167281-14400=152881$.

Так как дискриминант $D>0$, то уравнение имеет два корня:

$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{409+391}{32}=\frac{800}{32}=25$,

$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{409-391}{32}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$.

Теперь найдем значения переменной $x$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

4) $y=x^2=25$ ⇒ $x^2=25$ ⇒ $x_1=-5$ и $x_2=5$.

$y=x^2=\frac{9}{16}$ ⇒ $x^2=\frac{9}{16}$ ⇒ $x_3=-\frac{3}{4}$ и $x_4=\frac{3}{4}$.

Таким образом, решения уравнения $16x^4-409x^2+225=0$ равны $x_1=-5$, $x_2=5$, $x_3=-\frac{3}{4}$ и $x_4=\frac{3}{4}$.

5) Дано уравнение $4x^4-5x^2+1=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$4y^2-5y+1=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:

$(2y-1)(2y-1)=0$.

Таким образом, $y=x^2=\frac{1}{2}$. Решив это уравнение, получим два корня:

$x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Таким образом, решения уравнения $4x^4-5x^2+1=0$ равны $x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

6) Дано уравнение $4x^4-17x^2+4=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$4y^2-17y+4=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:

$(4y-1)(y-4)=0$.

Таким образом, $y_1=\frac{1}{4}$ и $y_2=4$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

6) $y=x^2=\frac{1}{4}$ ⇒ $x^2=\frac{1}{4}$ ⇒ $x_1=-\frac{1}{2}$ и $x_2=\frac{1}{2}$.

$y=x^2=4$ ⇒ $x^2=4$ ⇒ $x_3=-2$ и $x_4=2$.

Таким образом, решения уравнения $4x^4-17x^2+4=0$ равны $x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{1}{2}$, $x_3=-2$ и $x_4=2$.

7) Дано уравнение $4x^4-9x^2+2=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$4y^2-9y+2=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Оно не разлагается на линейные множители, поэтому воспользуемся квадратным трехчленом:

$D=b^2-4ac=(-9{)}^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49$.

Так как дискриминант $D>0$, то уравнение имеет два корня:

$y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{9+7}{8}=\frac{16}{8}=2$,

$y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{9-7}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

Теперь найдем значения переменной $x$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

7) $y=x^2=2$ ⇒ $x^2=2$ ⇒ $x_1=-\sqrt{2}$ и $x_2=\sqrt{2}$.

$y=x^2=\frac{1}{4}$ ⇒ $x^2=\frac{1}{4}$ ⇒ $x_3=-\frac{1}{2}$ и $x_4=\frac{1}{2}$.

Таким образом, решения уравнения $4x^4-9x^2+2=0$ равны $x_1=-\sqrt{2}$, $x_2=\sqrt{2}$, $x_3=-\frac{1}{2}$ и $x_4=\frac{1}{2}$.

8) Дано уравнение $6x^4-5x^2+1=0$. Для решения данного уравнения применим замену $y=x^2$. Подставим эту замену в данное уравнение:

$6y^2-5y+1=0$.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Здесь уравнение может быть разложено на два линейных множителя:

$(2y-1)(3y-1)=0$.

Таким образом, $y_1=\frac{1}{2}$ и $y_2=\frac{1}{3}$. Подставим значения переменной $y$ обратно в замену:

8) $y=x^2=\frac{1}{2}$ ⇒ $x^2=\frac{1}{2}$ ⇒ $x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$y=x^2=\frac{1}{3}$ ⇒ $x^2=\frac{1}{3}$ ⇒ $x_3=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x_4=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, решения уравнения $6x^4-5x^2+1=0$ равны $x_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x_3=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x_4=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь мы нашли решения всех уравнений. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите!